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第一章 函数的极限与连续 1

第一节 函数 1

一、变量与常用数集 1

二、函数的基本概念 3

三、函数的几种基本特性 7

四、初等函数 9

习题1-1 17

第二节 函数的极限及其性质 18

一、函数极限的概念 18

二、极限不存在的情形 24

三、极限的基本性质 25

习题1-2 27

第三节子极限与数列的极限 28

一、子极限 28

二、数列的极限 29

三、柯西收敛准则 32

习题1-3 32

第四节 无穷小与无穷大 33

一、无穷小 34

二、无穷大 36

三、无穷大与无穷小之间的关系 37

习题1-4 38

第五节 极限运算法则 39

一、极限的四则运算法则 39

二、复合函数的极限运算法则 44

习题1-5 47

第六节 极限存在准则及两个重要极限 48

一、准则Ⅰ（夹逼准则） 48

二、准则Ⅱ（单调有界准则） 51

习题1-6 56

第七节 无穷小的比较 58

习题1-7 62

第八节 函数的连续性 63

一、函数连续性的概念 64

二、连续函数的运算法则 66

三、初等函数的连续性 68

四、函数的间断点 70

习题1-8 74

第九节 闭区间上连续函数的性质 76

一、最大值与最小值存在定理 76

二、有界性定理 77

三、零点存在定理与介值定理 77

习题1-9 79

总复习题一 80

第二章 一元函数微分学 83

第一节 导数的概念 83

一、几个引例 83

二、导数的定义 84

三、函数的可导性与连续性之间的关系 89

四、导数的几何意义与物理意义 90

习题2-1 91

第二节 导数的运算法则与基本公式 93

一、求导的四则运算法则 93

二、反函数与复合函数的求导法则 95

习题2-2 99

第三节 隐函数与参数式函数的导数 101

一、隐函数的导数 101

二、参数式函数的导数 103

三、极坐标方程所确定的函数的导数 104

四、相关变化率 105

习题2-3 106

第四节 高阶导数 107

一、高阶导数 107

二、隐函数的二阶导数 111

三、参数式函数的二阶导数 112

习题2-4 113

第五节 一元函数的微分及其应用 114

一、微分的概念 114

二、微分的几何意义与物理意义 117

三、微分的运算法则 118

四、微分的应用 119

习题2-5 122

总复习题二 123

第三章 微分中值定理与导数的应用 126

第一节 微分中值定理 126

一、罗尔定理 126

二、拉格朗日中值定理 128

三、柯西中值定理 131

习题3-1 132

第二节 洛必达法则 133

一、0/0型未定式 133

二、∞/∞型未定式 136

三、其他如0·∞-∞，0?,1∞,∞?等未定式 136

习题3-2 138

第三节 泰勒公式 139

一、泰勒多项式 139

二、泰勒中值定理 141

习题3-3 146

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 147

一、函数的单调性 147

二、曲线的凹凸性与拐点 149

习题3-4 153

第五节 函数的极值、最大值和最小值 154

一、函数的极值 155

二、函数的最大值与最小值 158

习题3-5 161

第六节 函数图形的描绘 163

一、渐近线 163

二、函数图形的描绘 165

习题3-6 168

第七节 曲率 168

一、弧微分 168

二、曲率与曲率半径 170

三、曲线的曲率圆、曲率半径、曲率中心 173

习题3-7 174

第八节 导数在经济上的应用 175

一、边际问题 175

二、弹性问题 178

习题3-8 180

总复习题三 181

第四章 不定积分 184

第一节 不定积分的概念与性质 184

一、原函数 184

二、不定积分 185

三、不定积分的性质 186

四、基本积分公式 187

习题4-1 189

第二节 换元积分法 190

一、第一类换元积分法 190

二、第二类换元积分法 194

习题4-2 198

第三节 分部积分法 200

习题4-3 204

第四节 简单有理函数的积分 205

一、有理函数的积分 206

二、三角有理函数的积分 208

三、简单无理函数的积分 210

习题4-4 212

第五节 积分表的使用 212

习题4-5 214

总复习题四 215

第五章 定积分 217

第一节 定积分的概念与性质 217

一、引例 217

二、定积分的概念 219

三、定积分的性质 221

四、定积分的几何意义与物理意义 224

习题5-1 225

第二节 微积分基本定理 226

一、积分上限的函数及其导数 226

二、牛顿-莱布尼茨公式 229

习题5-2 230

第三节 定积分的换元积分法与分部积分法 232

一、定积分的换元积分法 232

二、分部积分法 235

习题5-3 237

第四节 反常积分 239

一、无穷限的反常积分 239

二、无界函数的反常积分 241

习题5-4 244

第五节 反常积分的审敛法Γ函数 244

一、反常积分的审敛法 244

二、Γ函数 249

习题5-5 250

总复习题五 251

第六章 定积分的应用 254

第一节 定积分的微元法 254

第二节 定积分在几何上的应用 255

一、平面图形的面积 255

二、体积 258

三、平面曲线的弧长 261

习题6-2 263

第三节 定积分在物理学中的应用 265

一、变力沿直线做功 265

二、液体的侧压力 267

三、引力 268

习题6-3 269

总复习题六 269

第七章 微分方程 272

第一节 微分方程的基本概念 272

习题7-1 275

第二节 变量可分离的微分方程与齐次方程 275

一、变量可分离的方程 275

二、齐次方程 278

习题7-2 282

第三节 一阶线性微分方程与伯努利方程 283

一、一阶线性微分方程 283

二、伯努利方程 286

习题7-3 287

第四节 可降阶的高阶微分方程 288

一、y（n）=f（x）型的微分方程 288

二、y″ =f（x，y′）型的微分方程 289

三、y″=f（y，y′）型的微分方程 291

习题7-4 292

第五节 高阶线性微分方程解的结构 293

一、线性齐次微分方程的解的结构 293

二、线性非齐次微分方程的解的结构 295

三、常数变易法 297

习题7-5 298

第六节 常系数线性微分方程 299

一、常系数线性齐次方程 299

二、常系数线性非齐次微分方程 302

三、欧拉方程 310

习题7-6 311

第七节 差分方程 312

一、一阶常系数线性差分方程 313

二、二阶常系数线性差分方程 315

习题7-7 317

第八节 常系数线性微分方程组的解法举例 317

习题7-8 319

总复习题七 320

附录Ⅰ 数学归纳法 322

附录Ⅱ 一些常用的中学数学公式 324

附录Ⅲ 几种常用的曲线（a＞0） 326

附录Ⅳ 积分表 330

附录Ⅴ MATLAB简介（上） 340

习题参考答案 367