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第一章 偏微分方程的基本概念及二阶线性偏微分方程的分类 1

1 数学模型 1

1 弦振动问题 1

2 薄膜振动问题 5

3 电磁场问题 8

4 热传导问题 11

5 理想流体流动问题 14

6 用变分原理建立数学模型 17

2 偏微分方程的基本概念 22

3 二阶线性偏微分方程的分类 29

1 两个自变量的情形 29

2 多个自变量的情形 38

习题 42

第二章 分离变量法 46

1 波动方程和热传导方程的分离变量法 46

1 齐次方程、齐次边值条件时的分离变量法 46

2 齐次边值条件、非齐次方程的情形 58

3 非齐次边值条件的情形 60

2 拉普拉斯方程的分离变量法 64

1 拉普拉斯方程的定解问题的提法 64

2 分离变量法 65

3 多维情形 71

习题 75

第三章 积分变换法 78

1 付立叶变换及其基本性质 79

1 付立叶积分公式 79

2 付立叶变换 82

3 付立叶变换的基本性质 85

2 付立叶变换在解定解问题中的应用 89

3 拉普拉斯变换及其性质 96

1 拉普拉斯变换 96

2 指数型函数 97

3 一些函数的拉普拉斯变换 100

4 拉普拉斯变换的性质 105

5 拉普拉斯逆变换 111

4 拉普拉斯变换在解定解问题中的应用 121

习题 123

第四章 平均值法、黎曼方法、格林函数法 127

1 行波法和达兰贝尔公式 127

1 无界弦的自由振动 127

2 物理意义 129

8 依赖区域、影响区域、决定区域 131

2 平均值法与泊松公式 132

1 三维波动方程柯西问题的解 132

2 物理意义、惠更斯原理 139

3 依赖区域、影响区域、决定区域 139

3 降维法 140

1 二维波动方程的泊松公式 140

2 物理意义、波的弥散 142

3 依赖区域、影响区域、决定区域 142

4 非齐次波动方程柯西问题的解、齐次化原理 144

5 拉普拉斯双曲型方程的特征始值问题和柯西问题 148

1 古沙问题与逐次逼近法 149

2 柯西向题与黎曼方法 154

6 拉普拉斯方程边值问题的格林函数法 166

1 格林公式与平均值定理 166

2 拉普拉斯方程的第一边值问题、格林函数 173

3 球域上的格林函数、泊松积分公式 178

4 调和函数的性质 183

习题 188

第五章 分离变量法（续） 193

1 几个特殊类型的常微分方程的引出 193

1 三维波动方程 193

2 热传导方程 194

3 亥姆霍兹方程 194

2 施特姆—刘维尔理论 199

3 贝塞尔函数（柱函数） 203

4 勒让德函数（球函数） 225

习题 240

第六章 三类方程定解问题的适定性 243

1 波动方程定解问题的适定性 243

1 能量积分 243

2 波动方程柯西问题解的适定性 249

3 波动方程混合问题解的适定性 251

2 热传导方程定解问题的适定性 253

1 极值原理 253

2 热传导方程定解问题解的唯一性与稳定性 255

3 拉普拉斯方程或泊松方程定解问题的适定性 261

1 极值原理 261

2 两类边值问题的适定性 263

4 三类方程的比较 267

1 波动方程 267

2 热传导方程 268

3 拉普拉斯方程 269

习题 271

参考书目 274