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第8章 多元函数微分法及其应用 1

8.1 平面点集与多元函数 1

8.1.1 平面点集 1

8.1.2 R2上的完备性定理 3

8.1.3 二元函数 5

8.1.4 n元函数 6

习题8.1 7

8.2 二元函数的极限和连续性 7

8.2.1 二元函数的极限 7

8.2.2 累次极限 9

8.2.3 二元函数的连续性 10

8.2.4 有界闭域上二元连续函数的性质 11

习题8.2 12

8.3 偏导数和全微分 13

8.3.1 偏导数 13

8.3.2 高阶偏导数 15

8.3.3 全微分 16

8.3.4 全微分在近似计算中应用 18

习题8.3 19

8.4 复合函数微分法 20

8.4.1 复合函数求导法则 20

8.4.2 复合函数的全微分 23

8.4.3 复合函数的高阶偏导数 24

习题8.4 25

8.5 隐函数存在定理及其微分法 26

8.5.1 一个方程的情形 26

8.5.2 方程组的情形 31

习题8.5 33

8.6 多元函数微分学的几何应用 34

8.6.1 空间曲线的切线与法平面 34

8.6.2 曲面的切平面与法线 36

习题8.6 38

8.7 方向导数与梯度 39

8.7.1 方向导数 39

8.7.2 梯度 42

习题8.7 44

8.8 二元函数的泰勒公式 45

8.8.1 借助于一元函数的泰勒公式 45

8.8.2 二元函数的泰勒中值定理 45

8.8.3 二元函数的麦克劳林公式 46

习题8.8 46

8.9 多元函数的极值及其求法 47

8.9.1 二元函数的无条件极值 47

8.9.2 二元函数的最大值和最小值 49

8.9.3 条件极值和拉格朗日乘子法 50

习题8.9 52

8.10 最小二乘法 53

8.10.1 经验公式 53

8.10.2 引入最小二乘法的实例 53

8.10.3 化成线性函数应用最小二乘法的实例 55

习题8.10 56

第9章 重积分 57

9.1 二重积分的概念 57

9.1.1 二重积分的定义 57

9.1.2 二重积分的性质 60

习题9.1 61

9.2 二重积分的计算 61

9.2.1 在直角坐标系下二重积分的计算 61

9.2.2 极坐标系下二重积分的计算 67

9.2.3 二重积分的换元法 72

习题9.2 74

9.3 三重积分的概念及计算法 76

9.3.1 三重积分的概念 76

9.3.2 在直角坐标系下三重积分的计算 77

9.3.3 在柱坐标系下三重积分的计算 82

9.3.4 在球面坐标系下三重积分的计算 85

习题9.3 88

9.4 重积分的应用 90

9.4.1 几何应用 90

9.4.2 物理应用 92

习题9.4 96

9.5 含参变量的积分 97

9.5.1 含参变量的积分的定义 97

9.5.2 含参变量的积分的性质 97

习题9.5 102

第10章 曲线积分与曲面积分 103

10.1 对弧长的曲线积分 103

10.1.1 概念与性质 103

10.1.2 对弧长的曲线积分的计算 104

10.1.3 对弧长的曲线积分的应用 108

习题10.1 110

10.2 对坐标的曲线积分 110

10.2.1 概念与性质 110

10.2.2 对坐标的曲线积分的计算 112

10.2.3 两类曲面积分的关系 114

习题10.2 115

10.3 格林公式 116

10.3.1 格林公式 116

10.3.2 平面曲线积分的四个等价命题 121

习题10.3 126

10.4 对面积的曲面积分 128

10.4.1 概念与性质 128

10.4.2 对面积的曲面积分的计算 128

10.4.3 对面积的曲面积分的应用 132

习题10.4 133

10.5 对坐标的曲面积分 134

10.5.1 概念与性质 134

10.5.2 对坐标的曲面积分的计算 136

10.5.3 两类曲面积分之间的关系 140

习题10.5 141

10.6 高斯公式、通量与散度 142

10.6.1 高斯（Gauss）公式 142

10.6.2 通量与散度 145

习题10.6 146

10.7 斯托克斯公式、环流量与旋度 147

10.7.1 斯托克斯公式 147

10.7.2 旋度的概念 149

10.7.3 空间曲线积分的四个等价命题 150

习题10.7 150

第11章 无穷级数 151

11.1 常数项级数的概念与性质 151

11.1.1 基本概念 151

11.1.2 性质 153

习题11.1 155

11.2 常数项级数的审敛法 155

11.2.1 正项级数审敛法 155

11.2.2 绝对收敛与条件收敛 160

11.2.3 交错级数审敛法 161

习题11.2 164

11.3 函数项级数的一致收敛性 165

11.3.1 一致收敛性的概念 165

11.3.2 一致收敛性的判别法 168

11.3.3 一致收敛级数的基本性质 169

习题11.3 171

11.4 幂级数 171

11.4.1 幂级数及其收敛性 171

11.4.2 幂级数的内闭一致收敛性 175

11.4.3 幂级数的运算 177

习题11.4 180

11.5 函数展开成幂级数及其应用 180

11.5.1 泰勒级数的收敛性定理 181

11.5.2 将函数展开为泰勒级数 182

11.5.3 函数的幂级数展开式的应用 186

习题11.5 188

11.6 傅里叶级数 188

11.6.1 傅里叶级数 188

11.6.2 正弦级数和余弦级数 193

习题11.6 195

11.7 一般周期函数的傅里叶级数 196

11.7.1 一般周期函数傅里叶级数的收敛性 196

11.7.2 一般周期函数的傅里叶级数展开 196

习题11.7 200

第12章 微分方程 201

12.1 微分方程的基本概念 201

12.1.1 引例 201

12.1.2 常微分方程的基本概念 201

习题12.1 202

12.2 一阶微分方程 202

12.2.1 可分离变量方程 203

12.2.2 齐次方程 204

12.2.3 可化为前两类方程的方程 205

习题12.2 206

12.3 一阶线性微分方程 207

12.3.1 一阶线性齐次微分方程 207

12.3.2 一阶线性非齐次微分方程 207

12.3.3 伯努利方程 209

习题12.3 211

12.4 全微分方程 212

12.4.1 全微分方程的定义 212

12.4.2 全微分方程的判别式和解法 212

12.4.3 可化为全微分方程的方程 213

习题12.4 214

12.5 可降阶的高阶微分方程 215

12.5.1 y（n）＝f（x）型n阶微分方程 215

12.5.2 y″＝f（x，y′）型二阶微分方程 215

12.5.3 y″＝f（y，y′）型二阶微分方程 216

12.5.4 混合解法 217

习题12.5 218

12.6 高阶线性微分方程 218

12.6.1 二阶线性齐次微分方程的解的结构 219

12.6.2 二阶线性非齐次微分方程解的结构 219

习题12.6 220

12.7 二阶常系数线性齐次微分方程求解 221

12.7.1 方程的形式 221

12.7.2 解的结构 221

12.7.3 方程的解法 221

12.7.4 解法总结 222

12.7.5 推广 223

习题12.7 223

12.8 二阶常系数线性非齐次微分方程求解 224

12.8.1 自由项为f（x）＝pm（x）eλx的求解 224

12.8.2 自由项为f（x）＝pm（x）eλx cosωx（f（x）＝pm（x）eλx sin ωx）的求解 226

习题12.8 229

12.9 常微分方程的解法和应用举例 229

12.9.1 欧拉方程 229

12.9.2 微分方程的幂级数解法 230

12.9.3 常系数线性微分方程组解法 232

12.9.4 常微分方程的应用 234

习题12.9 238

习题参考答案 239