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第一篇 高等数学 1

第一章 函数 极限 连续 1

考点与要求 1

1函数 1

内容精讲 1

一、定义 1

二、重要性质、定理、公式 4

例题分析 4

一、求分段函数的复合函数 4

二、由函数的奇偶性与周期性构造函数 6

三、求反函数的表达式 7

四、关于函数有界（无界）的讨论 8

2极限 9

内容精讲 9

一、定义 9

二、重要性质、定理、公式 10

三、计算极限的一些有关方法 11

例题分析 13

一、求函数的极限 14

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限 20

三、含有|x|，e1-x的x→0时的极限，含有取整函数[x]的x趋于整数时的极限 23

四、无穷小的比较 23

五、数列的极限 25

六、极限运算定理的正确运用 29

3函数的连续与间断 32

内容精讲 32

一、定义 32

二、重要性质、定理、公式 33

例题分析 33

一、讨论函数的连续与间断 33

二、在连续条件下求参数 35

三、连续函数的零点问题 36

自测题 36

自测题答案与提示 39

第二章 一元函数微分学 45

考点与要求 45

1导数与微分，导数的计算 45

内容精讲 45

一、定义 45

二、重要性质、定理、公式 46

例题分析 49

一、按定义求一点处的导数 49

二、已知f（x）在某点x = x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f （x）在x=x0处的导数 51

三、绝对值函数的导数 58

四、由极限式表示的函数的可导性 59

五、导数与微分、增量的关系 60

六、求导数的计算题 60

2导数的应用 62

内容精讲 62

一、定义 62

二、重要性质、定理、公式与方法 63

例题分析 65

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论 65

二、渐近线 69

三、曲率与曲率圆 70

四、最大值、最小值问题 70

3中值定理、不等式与零点问题 72

内容精讲 72

一、重要定理 72

二、重要方法 73

例题分析 75

一、不等式的证明 75

二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题 79

三、复合函数ψ（x，f（x），f′（x））的零点 81

四、复合函数ψ（x，f（x），f′（x）， f″（x））的零点 82

五、“双中值”问题 84

六、零点的个数问题 84

七、证明存在某ξ满足某不等式 85

八、f′（x）与f （x）的一些极限性质的关系 87

自测题 88

自测题答案与提示 91

第三章一元函数积分学 99

考点与要求 99

1不定积分与定积分的概念、性质、理论 99

内容精讲 99

一、定义 99

二、重要性质、定理、公式 100

例题分析 102

一、分段函数的不定积分与定积分 102

二、定积分与原函数的存在性 105

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分 105

2不定积分与定积分的计算 109

内容精讲 109

一、基本积分公式 109

二、基本积分方法 109

例题分析 112

一、简单有理分式的积分 112

二、三角函数的有理分式的积分 113

三、简单无理式的积分 114

四、两种不同类型的函数相乘的积分 115

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分 117

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分 118

七、含参变量带绝对值号的定积分 120

3反常积分及其计算 121

内容精讲 121

一、定义 121

二、重要性质、定理、公式 122

例题分析 124

一、反常积分的计算 124

二、关于奇、偶函数的反常积分 125

三、关于反常积分敛散性的判定 127

4定积分的应用 128

内容精讲 128

一、基本方法 128

二、重要几何公式与物理应用 129

例题分析 130

一、几何应用 130

二、物理应用 133

5定积分的证明题 137

内容精讲 137

例题分析 137

一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等 137

二、由积分定义的函数求极限 139

三、积分不等式的证明 140

四、零点问题 145

自测题 148

自测题答案与提示 151

第四章 多元函数微积分学 162

考点与要求 162

1多元函数的极限、连续、偏导数与全微分 162

内容精讲 162

一、多元函数 162

二、二元函数的极限与连续 162

三、二元函数的偏导数与全微分 163

例题分析 165

一、讨论二重极限 165

二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性 167

三、讨论二元函数的可微性 169

2多元函数的微分法 172

内容精讲 172

一、复合函数的偏导数与全微分 172

二、隐函数的偏导数与全微分 174

例题分析 175

一、求复合函数的偏导数与全微分 175

二、求隐函数的偏导数与全微分 183

3极值与最值 187

内容精讲 187

一、无条件极值 187

二、条件极值 188

例题分析 188

一、无条件极值问题 188

二、条件极值（最值）问题 191

三、多元函数的最大（小）值问题 192

4二重积分 196

内容精讲 196

一、二重积分的定义及几何意义 196

二、二重积分的性质 197

三、二重积分的计算 197

例题分析 199

一、计算二重积分 199

二、累次积分交换次序及计算 210

三、与二重积分有关的综合题 212

四、与二重积分有关的积分不等式问题 215

自测题 217

自测题答案与提示 221

第五章 常微分方程 230

考点与要求 230

1常微分方程 230

考点与要求 230

一、微分方程的基本概念 230

二、常见的几类一阶方程及解法 231

三、可降阶的高阶微分方程 231

四、高阶线性方程 232

例题分析 233

一、微分方程求解 233

二、微分方程的综合题 239

三、微分方程的应用 242

自测题 245

自测题答案与提示 247

第二篇 线性代数 252

第一章 行列式 252

考点与要求 252

内容精讲 252

例题分析 255

一、数字型行列式的计算 256

二、抽象型行列式的计算 263

三、行列式|A|是否为零的判定 265

四、关于代数余子式求和 266

自测题 268

自测题答案与提示 269

第二章 矩阵 272

考点与要求 272

内容精讲 272

1矩阵的概念及运算 272

一、矩阵的概念 272

二、矩阵的运算 273

三、矩阵的运算规则 274

四、特殊矩阵 275

2可逆矩阵 275

一、可逆矩阵的概念 275

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件 275

三、逆矩阵的运算性质 276

四、求逆矩阵的方法 276

3初等变换、初等矩阵 276

一、定义 276

二、初等矩阵与初等变换的性质 277

4矩阵的秩 277

一、矩阵秩的概念 278

二、矩阵秩的公式 278

5分块矩阵 278

一、分块矩阵的概念 278

二、分块矩阵的运算 279

例题分析 280

一、矩阵的概念及运算 280

二、特殊方阵的幂 284

三、伴随矩阵的相关问题 288

四、可逆矩阵的相关问题 292

五、初等变换、初等矩阵 296

六、矩阵秩的计算 299

七、矩阵方程的求解 302

自测题 305

自测题答案与提示 307

第三章 向量 309

考点与要求 309

内容精讲 309

1向量、向量组的线性相关性 309

2极大线性无关组、秩 311

3内积，正交规范化方法 313

例题分析 314

一、线性相关性的判别 314

二、向量的线性表示 317

三、向量组线性无关的证明 319

四、秩、极大线性无关组 324

五、正交矩阵、施密特正交化方法 330

自测题 332

自测题答案与提示 334

第四章 线性方程组 336

考点与要求 336

内容精讲 336

1克莱姆法则 336

2齐次线性方程组 337

3非齐次线性方程组 338

例题分析 340

一、线性方程组的基本概念题 340

二、线性方程组的求解 345

三、基础解系 351

四、AX= 0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A 354

五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系 356

六、两个方程组的公共解 358

七、同解方程组 360

八、线性方程组的有关杂题 363

自测题 366

自测题答案与提示 368

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 370

考点与要求 370

内容精讲 370

1特征值、特征向量 370

一、定义 370

二、特征值的性质 370

三、求特征值、特征向量的方法 371

2相似矩阵、矩阵的相似对角化 371

一、定义 371

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件 371

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件 372

3实对称矩阵的相似对角化 372

一、定义 372

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化 372

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤 373

例题分析 373

一、特征值，特征向量的求法 373

二、两个矩阵有相同的特征值的证明 378

三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法 379

四、矩阵是否相似于对角阵 381

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数 383

六、由特征值、特征向量反求A 385

七、矩阵相似及相似标准形 387

八、相似对角阵的应用 394

自测题 399

自测题答案与提示 401

第六章 二次型 404

考点与要求 404

内容精讲 404

1二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵 404

一、二次型概念 404

二、二次型的矩阵表示 404

2化二次型为标准形、规范形、合同二次型 405

一、定义 405

3正定二次型、正定矩阵 407

一、定义 407

例题分析 407

一、二次型的矩阵表示 407

二、化二次型为标准形、规范形 409

三、合同矩阵、合同二次型 418

四、正定性的判别 422

五、正定二次型的证明 427

六、综合杂题 429

自测题 432

自测题答案与提示 434