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第1章 函数、极限与连续 1

1.1 预备知识 1

1.1.1 实数的绝对值 1

1.1.2 集合 1

1.1.3 区间和邻域 2

习题1.1 4

1.2 函数 4

1.2.1 函数的概念 4

1.2.2 函数的几种特性 7

1.2.3 反函数与复合函数 10

1.2.4 基本初等函数与初等函数 12

1.2.5 建立函数关系式举例 14

习题1.2 15

1.3 数列的极限 18

1.3.1 数列的概念及其性质 18

1.3.2 数列的极限 19

1.3.3 数列的收敛性与有界性的关系 22

习题1.3 23

1.4 函数的极限 23

1.4.1 自变量趋向于无穷时函数的极限 23

1.4.2 自变量趋向于有限值时函数的极限 25

1.4.3 函数极限的性质定理 28

习题1.4 28

1.5 极限的运算法则 29

1.5.1 极限的四则运算法则 29

1.5.2 复合函数的极限 32

1.5.3 极限的不等式定理 33

习题1.5 34

1.6 极限存在的夹逼准则、两个重要极限 35

1.6.1 极限存在的夹逼准则 35

1.6.2 两个重要极限 36

习题1.6 41

1.7 无穷小、无穷大及无穷小的比较 41

1.7.1 无穷小 41

1.7.2 无穷大 42

1.7.3 无穷小的比较 43

习题1.7 45

1.8 函数的连续性与间断点 46

1.8.1 函数的连续性 46

1.8.2 左、右连续及连续的充要条件 48

1.8.3 函数的间断点及其分类 48

习题1.8 51

1.9 连续函数的运算及初等函数的连续性 51

1.9.1 连续函数的四则运算 51

1.9.2 反函数与复合函数的连续性 52

1.9.3 初等函数的连续性 52

习题1.9 53

1.10 闭区间上连续函数的性质 54

1.10.1 最大值和最小值定理 54

1.10.2 介值定理 55

习题1.10 56

复习题（1） 56

第2章 导数与微分 59

2.1 导数的概念 59

2.1.1 变化率问题举例 59

2.1.2 函数的导数 61

2.1.3 导数的几何意义 65

2.1.4 函数的可导性与连续性的关系 65

习题2.1 66

2.2 函数的四则运算求导法则 67

2.2.1 函数的和、差求导法则 67

2.2.2 函数的积、商求导法则 68

习题2.2 70

2.3 反函数的导数 71

2.3.1 反函数的求导法则 71

2.3.2 指数函数的导数 72

2.3.3 反三角函数的导数 72

习题2.3 74

2.4 复合函数的求导法则 74

2.4.1 复合函数的求导法则 74

2.4.2 基本求导公式与求导法则 77

习题2.4 78

2.5 高阶导数 80

习题2.5 82

2.6 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 82

2.6.1 隐函数的导数 82

2.6.2 对数求导法 85

2.6.3 由参数方程所确定的函数的导数 85

2.6.4 相关变化率 87

习题2.6 88

2.7 函数的微分 89

2.7.1 微分的定义 89

2.7.2 函数可微与可导之间的关系 90

2.7.3 微分的几何意义 92

2.7.4 函数的微分公式与微分法则 92

2.7.5 复合函数的微分法则与一阶微分形式不变性 93

2.7.6 微分在近似计算中的应用 94

习题2.7 96

复习题（2） 97

第3章 中值定理与导数的应用 100

3.1 中值定理 100

3.1.1 罗尔定理 100

3.1.2 拉格朗日中值定理 101

3.1.3 柯西中值定理 102

习题3.1 103

3.2 洛必达法则 104

3.2.1 0/0和∞／∞型未定式的洛必达法则 104

3.2.2 其他未定式的计算 106

习题3.2 108

3.3 函数单调性的判别法与极值 109

3.3.1 函数单调性的判别法 109

3.3.2 函数的极值及其求法 111

习题3.3 115

3.4 最大值和最小值问题 116

3.4.1 函数在闭区间上的最大值和最小值 116

3.4.2 实际问题中的最大值和最小值 117

习题3.4 119

3.5 曲线的凹凸性与拐点 119

3.5.1 曲线的凹凸性 119

3.5.2 曲线的拐点 121

习题3.5 122

3.6 函数图形的描绘 122

3.6.1 曲线的水平渐近线与铅直渐近线 123

3.6.2 函数图形的描绘 123

习题3.6 125

3.7 曲率（理工类用） 126

3.7.1 弧微分 127

3.7.2 曲率的概念及计算公式 127

3.7.3 曲率半径与曲率圆 131

习题3.7 132

3.8 导数在经济分析中的应用（经管类用） 133

3.8.1 经济函数 133

3.8.2 边际分析 134

3.8.3 弹性分析 135

3.8.4 极值在经济管理中的应用举例 138

习题3.8 139

复习题（3） 140

第4章 不定积分 144

4.1 不定积分的概念与性质 144

4.1.1 原函数与不定积分的概念 144

4.1.2 基本积分表 147

4.1.3 不定积分的性质 149

习题4.1 152

4.2 换元积分法 153

4.2.1 第一类换元积分法 153

4.2.2 第二类换元积分法 159

4.2.3 基本积分表的扩充 162

习题4.2 163

4.3 分部积分法 165

习题4.3 169

4.4 简单有理真分式的积分及三角函数有理式的积分举例（理工类用） 170

4.4.1 有理真分式的积分 170

4.4.2 三角函数有理式的积分 174

习题4.4 176

复习题（4） 176

第5章 定积分及其应用 180

5.1 定积分的概念与性质 180

5.1.1 引入定积分概念的实例 180

5.1.2 定积分的定义 183

5.1.3 定积分的几何意义 184

5.1.4 定积分的性质 185

习题5.1 188

5.2 牛顿-莱布尼茨公式 189

5.2.1 变上限的定积分所确定的函数及其导数 189

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式 191

习题5.2 194

5.3 定积分的换元法与分部积分法 195

5.3.1 定积分的换元法 195

5.3.2 定积分的分部积分法 199

习题5.3 201

5.4 定积分在几何中的应用 202

5.4.1 元素法 202

5.4.2 平面图形的面积 203

5.4.3 某些特殊立体的体积 207

5.4.4 平面曲线的弧长（理工类用） 210

习题5.4 213

5.5 定积分在物理、力学中的应用举例（理工类用） 214

5.5.1 计算作功 214

5.5.2 计算水压力 217

习题5.5 219

5.6 定积分在经济分析中的应用举例（经管类用） 220

5.6.1 已知边际函数求总量函数 220

5.6.2 已知总量函数的变化率（或边际函数），求总量函数的改变量 221

5.6.3 由边际函数求总量函数的最大值或最小值 221

习题5.6 223

5.7 反常积分与Γ-函数简介 223

5.7.1 无限区间上的反常积分 223

5.7.2 无界函数的反常积分 226

5.7.3 Γ-函数简介 228

习题5.7 229

复习题（5） 229

第6章 常微分方程 234

6.1 微分方程的基本概念 234

6.1.1 引例 234

6.1.2 微分方程的一般概念 236

习题6.1 238

6.2 变量可分离的微分方程及齐次方程 238

6.2.1 变量可分离的微分方程 239

6.2.2 齐次方程 241

习题6.2 244

6.3 一阶线性微分方程 244

习题6.3 248

6.4 可降阶的高阶微分方程（理工类用） 249

6.4.1 y″（n）＝f（x）型 249

6.4.2 y″＝f（x,y′）型 250

6.4.3 y″＝f（y,y′）型 251

习题6.4 253

6.5 二阶常系数线性齐次微分方程 253

6.5.1 二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构 254

6.5.2 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 255

习题6.5 259

6.6 二阶常系数线性非齐次微分方程 259

6.6.1 二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构及特解的可叠加性 259

6.6.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 260

习题6.6 267

6.7 微分方程的实际应用举例（理工类用） 267

习题6.7 275

6.8 微分方程在经济分析中的应用举例（经管类用） 276

习题6.8 280

复习题（6） 281

附录 285

附录A 简单积分表 285

附录B 初等数学常用公式 289

附录C 极坐标简介 292

附录D 某些常用的曲线方程及其图形 293