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第八章 多元函数微分学 1

第一节 多元函数的基本概念 1

一、平面点集 n维空间 1

二、多元函数概念 3

三、多元函数的极限 5

四、多元函数的连续性 6

习题8-1 7

第二节 偏导数 8

一、偏导数概念 8

二、偏导数的几何意义 偏导数存在与连续的关系 10

三、高阶偏导数 11

习题8-2 12

第三节 全微分及其应用 13

一、全微分的概念 13

二、函数可微的条件 14

三、全微分在近似计算中的应用 16

习题8-3 17

第四节 多元复合函数的微分法 18

一、多元复合函数的求导法则 18

二、全微分形式不变性 21

习题8-4 22

第五节 隐函数的求导公式 23

一、由一个方程确定的隐函数的求导公式 23

二、由方程组确定的隐函数的求导公式 24

习题8-5 27

第六节 方向导数与梯度 28

一、方向导数 28

二、梯度 29

习题8-6 32

第七节 多元函数微分法的应用 33

一、几何应用 33

二、二元函数的极值与最大值、最小值 36

习题8-7 41

第八节 二元函数的泰勒公式 42

习题8-8 44

第八章 总习题 44

第九章 重积分 46

第一节 重积分的概念与性质 46

一、重积分的概念 46

二、二重积分的性质 49

习题9-1 51

第二节 二重积分的计算 51

一、利用直角坐标计算二重积分 52

二、利用极坐标计算二重积分 55

三、二重积分的换元法 58

习题9-2 62

第三节 三重积分的计算 64

一、利用直角坐标计算三重积分 64

二、利用柱面坐标计算三重积分 68

三、利用球面坐标计算三重积分 70

四、三重积分的换元法 72

习题9-3 74

第四节 重积分的应用 75

一、几何应用 75

二、物理应用 78

习题9-4 83

第九章 总习题 84

第十章 曲线积分与曲面积分 86

第一节 第一类曲线积分 86

一、概念与性质 86

二、计算方法 88

习题10-1 91

第二节 第二类曲线积分 91

一、概念与性质 91

二、计算方法 96

习题10-2 99

第三节 第一类曲面积分 100

一、概念与性质 100

二、计算方法 101

习题10-3 104

第四节 第二类曲面积分 104

一、概念与性质 104

二、计算方法 110

习题10-4 114

第五节 格林公式 115

一、格林公式 115

二、平面曲线积分与路径无关的条件 全微分求积 119

习题10-5 123

第六节 高斯公式 斯托克斯公式 123

一、高斯公式 123

二、斯托克斯公式 127

习题10-6 131

第七节 通量与散度 环量与旋度 131

一、通量与散度 132

二、环量与旋度 136

习题10-7 140

第十章 总习题 140

第十一章 无穷级数 143

第一节 常数项级数的概念和性质 143

一、常数项级数的概念 143

二、级数的性质 145

习题11-1 147

第二节 常数项级数的收敛判别法 148

一、正项级数及其收敛判别法 148

二、交错级数及其收敛判别法 152

三、任意项级数及其收敛判别法 154

习题11-2 156

第三节 幂级数 157

一、函数项级数的概念 157

二、幂级数及其收敛域 158

三、幂级数的运算与性质 161

习题11-3 162

第四节 函数展开成幂级数 163

一、泰勒（Taylor）级数 163

二、函数展开成幂级数 165

习题11-4 168

第五节 幂级数的应用 168

一、求数项级数的和 169

二、近似计算 169

三、欧拉（Euler）公式 171

习题11-5 171

第六节 傅立叶（Fourier）级数 172

一、三角函数系的正交性 172

二、函数展开成傅立叶级数 173

三、正弦级数和余弦级数 176

习题11-6 177

第七节 周期为2l的函数的傅立叶级数 178

习题11-7 181

第八节 有限区间上函数的傅立叶级数 181

习题11-8 183

第十一章 总习题 184

第十二章 常微分方程 187

第一节 常微分方程的基本概念 187

一、两个实例 187

二、微分方程的基本概念 188

习题12-1 189

第二节 一阶微分方程 189

一、可分离变量微分方程及齐次方程 190

二、一阶线性微分方程及伯努利方程 195

三、全微分方程 200

习题12-2 203

第三节 可降阶的高阶微分方程 204

一、y(n)=f（x,y(k),&,y(n-1)）型方程 204

二、y(n)=f（y,y＇,&,y(n-1)）型方程 206

习题12-3 207

第四节 高阶线性微分方程 208

一、线性微分方程及其解的结构 208

二、常系数齐次线性微分方程 210

三、常系数非齐次线性微分方程 213

习题12-4 217

第五节 欧拉方程 幂级数解法 218

一、欧拉方程 218

二、微分方程的幂级数解法 219

习题12-5 221

第六节 微分方程的应用 221

一、一阶微分方程的应用举例 221

二、二阶微分方程的应用举例 225

习题12-6 228

第七节 常系数线性微分方程组解法举例 228

一、消元法 229

二、特征方程法 230

习题12-7 232

第十二章 总习题 232

习题参考答案与提示 235