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第一篇 函数、极限与连续 3

第一章 函数、极限与连续 3

第一节 函数的基本概念与简单性质 3

一、预备知识 3

二、函数的基本概念 5

三、函数的简单性质 8

四、求反函数与函数的复合运算 10

五、初等函数 13

六、建立函数关系 17

七、经济分析中的常用函数 19

习题1-1 20

第二节 数列极限的概念 21

一、数列极限的定义 21

二、数列极限的常用性质 24

习题1-2 25

第三节 函数极限的概念 25

一、自变量趋于无穷大时的函数极限 25

二、自变量趋于有限值时的函数极限 27

三、小结 29

习题1-3 31

第四节 极限运算法则 31

一、极限的四则运算法则 31

二、复合函数的极限运算法则 35

习题1-4 36

第五节 极限存在准则与两个重要极限 37

一、夹逼准则 37

二、第一个重要极限lim x→0 sinx/x＝1 38

三、单调有界准则 40

四、第二个重要极限lim x→∞（1＋1/x）x＝e 40

习题1-5 43

第六节 无穷小与无穷大 43

一、无穷小的概念与性质 44

二、无穷小的比较 46

三、利用等价无穷小代换求极限 48

四、无穷大 49

习题1-6 50

第七节 函数连续性的概念 51

一、连续函数的基本概念 51

二、函数的间断点及其分类 53

习题1-7 56

第八节 连续函数的运算与初等函数的连续性 57

一、连续函数的和、差、积、商的连续性 57

二、基本初等函数的连续性 57

三、复合函数的连续性 57

四、初等函数的连续性 58

习题1-8 59

第九节 闭区间上连续函数的性质 59

一、最大值最小值定理 59

二、零点定理 60

三、介值定理 62

习题1-9 62

第一篇综合练习 63

第二篇 一元函数微分学 67

第二章 导数与微分 67

第一节 导数的概念 67

一、导数概念的引入 67

二、导数的定义 68

三、单侧导数 70

四、导数的几何意义 71

五、函数的可导性与连续性的关系 72

六、导数的基本应用 72

习题2-1 73

第二节 函数的求导法则 74

一、函数的和、差、积、商的求导法则 74

二、反函数的求导法则 75

三、复合函数的求导法则 76

四、对数求导法 78

五、基本初等函数的导数公式 79

习题2-2 79

第三节 高阶导数 由参数方程所表示的函数的导数 80

一、高阶导数的定义与计算法 80

二、由参数方程所表示的函数的导数 83

习题2-3 84

第四节 隐函数的导数 相关变化率 85

一、隐函数的导数 85

二、相关变化率 87

习题2-4 88

第五节 函数微分的概念 89

一、微分的定义 89

二、微分的几何意义 92

三、函数的局部线性化 92

习题2-5 93

第六节 微分的计算与应用 94

一、基本微分公式与微分法则 94

二、利用函数的局部线性化作近似计算 97

三、误差估计 98

习题2-6 99

第三章 微分中值定理与导数的应用 101

第一节 微分中值定理 101

一、罗尔定理 101

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 103

三、柯西（Cauchy）中值定理 105

习题3-1 106

第二节 洛必达法则 106

一、0/0型或∞/∞型未定式的洛必达法则 107

二、其他五类未定式的极限 109

习题3-2 111

第三节 泰勒公式 111

一、泰勒公式 112

二、应用举例 115

习题3-3 116

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 117

一、函数的单调性 117

二、曲线的凹凸性与拐点 120

习题3-4 123

第五节 函数的极值与最大最小值 124

一、函数的极值 124

二、函数的最大最小值 127

习题3-5 130

第六节 函数作图 131

一、曲线的渐近线 131

二、函数作图 132

习题3-6 135

第七节 曲线的曲率 135

一、弧微分 135

二、曲率及其计算公式 136

三、曲率半径与曲率圆 137

习题3-7 140

第二篇综合练习 141

第三篇 一元函数积分学 145

第四章 不定积分 145

第一节 不定积分的概念与性质 145

一、原函数与不定积分的概念 145

二、不定积分的性质 147

三、常用积分公式 148

四、直接积分法 149

习题4-1 151

第二节 第一类换元积分法 152

习题4-2 157

第三节 第二类换元积分法 158

习题4-3 161

第四节 分部积分法 162

习题4-4 166

第五章 定积分及其应用 167

第一节 定积分的概念与性质 167

一、两个实际问题 167

二、定积分的定义 169

三、定积分的性质 170

四、定积分的几何意义 172

五、定积分的近似计算公式与函数的平均值 174

习题5-1 177

第二节 微积分基本公式 178

一、变速直线运动中速度与路程的关系 178

二、积分上限函数及其导数 179

三、牛顿-莱布尼茨公式 181

习题5-2 185

第三节 定积分的换元积分法和分部积分法 186

一、定积分的换元积分法 186

二、定积分的分部积分法 190

习题5-3 193

第四节 广义积分 194

一、无穷限的广义积分 194

二、无界函数的广义积分 196

习题5-4 198

第五节 定积分的几何应用 199

一、定积分的微元法 199

二、平面图形的面积 201

二、特殊立体的体积 205

三、平面曲线的弧长 208

习题5-5 210

第六节 定积分在物理学中的应用举例 211

一、变力沿直线做功 212

二、水压力 214

三、引力 215

习题5-6 216

第三篇综合练习 217

第四篇 常微分方程 221

第六章 常微分方程 221

第一节 微分方程的基本概念 221

一、问题的提出 221

二、基本概念 222

习题6-1 225

第二节 可分离变量的微分方程 226

一、可分离变量微分方程及其解法 226

二、应用举例 227

习题6-2 230

第三节 一阶线性微分方程 230

一、一阶线性微分方程的概念和解法 230

二、应用举例 233

习题6-3 234

第四节 其他几种一阶微分方程的解法 235

一、齐次方程 235

二、伯努利方程 237

三、其他可利用变量代换求解的一阶微分方程举例 238

习题6-4 239

第五节 可降阶的高阶微分方程 240

一、y(n)＝f（x）型的微分方程 240

二、y″＝f（x,y′）型的微分方程 241

三、y″＝f（y,y′）型的微分方程 242

四、应用举例 243

习题6-5 244

第六节 二阶线性微分方程解的结构 244

一、二阶线性微分方程的概念 244

二、二阶齐次线性微分方程解的结构 245

三、二阶非齐次线性微分方程解的结构 246

习题6-6 248

第七节 二阶常系数齐次线性微分方程 248

一、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 249

二、n阶常系数齐次线性微分方程的解法 252

习题6-7 252

第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 253

一、二阶常系数非齐次线性微分方程 253

二、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 253

三、应用举例 258

习题6-8 260

第九节 微分方程在车辆工程中的应用 260

一、列车运动方程式计算 261

二、汽车碰撞动力学方程 262

第四篇综合练习 265

附录 常用曲线及其方程 267

习题答案 270