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第1章 函数 1

1.1集合、区间、邻域 1

1.1.1实数的绝对值 1

1.1.2集合 1

1.1.3区间和邻域 2

习题1-1 4

1.2函数及其特性 4

1.2.1变量与常量 4

1.2.2函数的概念 5

1.2.3函数的几种特性 8

习题1-2 11

1.3反函数与复合函数 12

1.3.1反函数 12

1.3.2复合函数 13

习题1-3 16

1.4初等函数 17

1.4.1基本初等函数 17

1.4.2初等函数 19

1.4.3双曲函数 20

1.4.4建立函数关系式举例 20

习题1-4 21

学习指导 23

复习思考题（一） 27

第2章 极限与连续 29

2.1数列的极限 29

2.1.1数列的概念及其性质 29

2.1.2数列的极限 30

2.1.3数列的收敛性与有界性的关系 33

习题2-1 35

2.2函数的极限 36

2.2.1自变量趋向于无穷时函数的极限 36

2.2.2自变量趋向于有限值时函数的极限 37

2.2.3函数极限的性质定理 39

习题2-2 40

2.3无穷小量和无穷大量 40

2.3.1无穷小量的概念及运算 41

2.3.2无穷大量的概念 42

2.3.3无穷大与无穷小的关系 43

2.3.4具有极限的函数与无穷小的关系 44

习题2-3 45

2.4极限的运算法则 45

2.4.1极限的四则运算法则 45

2.4.2复合函数的极限 50

2.4.3极限的不等式定理 51

习题2-4 51

2.5极限存在的夹逼准则两个重要极限 52

2.5.1极限存在的夹逼准则 52

2.5.2两个重要极限 54

习题2-5 58

2.6无穷小的比较 59

2.6.1无穷小比较的概念 59

2.6.2等价无穷小的性质及其应用 60

习题2-6 61

2.7函数的连续性与间断点 62

2.7.1函数的连续性 62

2.7.2左、右连续及连续的充要条件 64

2.7.3函数的间断点及其分类 65

习题2-7 67

2.8连续函数的运算及初等函数的连续性 68

2.8.1连续函数的四则运算 68

2.8.2反函数与复合函数的连续性 68

2.8.3初等函数的连续性 69

习题2-8 70

2.9闭区间上连续函数的性质 70

2.9.1最大值和最小值定理 70

2.9.2介值定理 72

习题2-9 73

学习指导 73

复习思考题（二） 78

第3章 导数与微分 81

3.1导数的概念 81

3.1.1变化率问题举例 81

3.1.2导数的定义 82

3.1.3根据定义求导数举例 83

3.1.4导数的几何意义 85

3.1.5函数的可导性与连续性的关系 86

习题3-1 87

3.2函数的四则运算求导法则 88

3.2.1函数的和、差求导法则 88

3.2.2函数的积、商求导法则 89

习题3-2 92

3.3反函数的导数 93

3.3.1反函数的求导法则 93

3.3.2指数函数的导数 93

3.3.3反三角函数的导数 94

习题3-3 95

3.4复合函数的求导法则 96

习题3-4 100

3.5初等函数的导数与分段函数的求导举例 101

3.5.1基本求导公式与求导运算法则 101

3.5.2初等函数的导数 102

3.5.3分段函数求导举例 102

习题3-5 103

3.6高阶导数 104

习题3-6 106

3.7隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 107

3.7.1隐函数的导数 107

3.7.2对数求导法 109

3.7.3由参数方程所确定的函数的导数 110

3.7.4相关变化率 111

习题3-7 112

3.8函数的微分 113

3.8.1微分的定义 113

3.8.2函数可微与可导之间的关系 114

3.8.3微分的几何意义 116

3.8.4函数的微分公式与微分法则 117

3.8.5复合函数的微分法则与微分形式不变性 118

3.8.6微分在近似计算中的应用 119

习题3-8 121

学习指导 122

复习思考题（三） 128

第4章 中值定理与导数的应用 131

4.1中值定理 131

4.1.1罗尔定理 131

4.1.2拉格朗日定理 132

4.1.3柯西定理 134

习题4-1 135

4.2洛必达法则 135

4.2.10/0和∞/∞型未定式的洛必达法则 135

4.2.2其他未定式的计算 138

习题4-2 140

4.3函数的单调性的判定法 141

习题4-3 144

4.4函数的极值及其求法 145

习题4-4 149

4.5最大值、最小值问题 150

4.5.1函数在闭区间上的最大值和最小值 150

4.5.2实际问题中的最大值和最小值 151

习题4-5 154

4.6曲线的凹凸性与拐点 155

4.6.1曲线的凹凸性 155

4.6.2曲线的拐点 157

习题4-6 158

4.7.函数图形的描绘 158

4.7.1曲线的水平渐近线与铅直渐近线 159

4.7.2函数图形的描绘 159

习题4-7 161

4.8曲率 162

4.8.1弧微分 163

4.8.2曲率的概念及计算公式 163

4.8.3曲率半径与曲率圆 168

习题4-8 168

学习指导 169

复习思考题（四） 178

第5章 不定积分 182

5.1原函数与不定积分 182

5.1.1原函数与不定积分的概念 182

5.1.2基本积分表 185

5.1.3不定积分的性质 187

习题5-1 190

5.2换元积分法 191

5.2.1第一类换元法 191

习题5-2（1） 197

5.2.2第二类换元法 198

5.2.3基本积分表的扩充 203

习题5-2（2） 205

5.3分部积分法 206

习题5-3 211

5.4简单有理真分式的积分及三角函数有理式的积分举例 211

5.4.1有理真分式的积分 211

5.4.2三角函数有理式的积分 216

习题5-4 219

学习指导 219

复习思考题（五） 228

第6章 定积分 232

6.1定积分的概念 232

6.1.1引入定积分的两个实例 232

6.1.2定积分的定义 234

6.1.3定积分的几何意义 236

习题6-1 238

6.2定积分的性质 中值定理 239

习题6-2 243

6.3牛顿-莱布尼兹公式 244

6.3.1变上限的定积分所确定的函数及其导数 247

6.3.2牛顿-莱布尼兹公式 247

习题6-3 250

6.4定积分的换元法与分部积分法 251

6.4.1定积分的换元法 251

6.4.2定积分的分部积分法 256

习题6-4 258

6.5定积分的近似计算法 260

6.5.1矩形法 260

6.5.2梯形法 261

6.5.3抛物线法 261

习题6-5 263

6.6广义积分 264

6.6.1无穷区间上的广义积分 264

6.6.2无界函数的广义积分 266

习题6-6 269

学习指导 270

复习思考题（六） 278

第7章 定积分的应用 282

7.1平面图形的面积 283

7.1.1直角坐标情形 283

7.1.2极坐标情形 286

习题7-1 287

7.2某些特殊立体的体积 288

7.2.1平行截面面积为已知的立体的体积 288

7.2.2旋转体的体积 290

习题7-2 292

7.3平面曲线的弧长 293

7.3.1直角坐标情形 293

7.3.2参数方程情形 294

7.3.3极坐标情形 296

习题7-3 297

7.4定积分在物理、力学中的应用举例 298

7.4.1功 298

7.4.2水压力 301

习题7-4 304

学习指导 305

复习思考题（七） 311

第8章 常微分方程 315

8.1微分方程的基本概念 315

8.1.1引例 315

8.1.2微分方程的基本概念 316

习题8-1 318

8.2变量可分离的微分方程及齐次方程 319

8.2.1变量可分离的微分方程 320

8.2.2齐次方程 322

习题8-2 327

8.3一阶线性微分方程 328

习题8-3 334

8.4可降阶的高阶微分方程 335

8.4.1y （n）=f（x）型的微分方程 335

8.4.2y”=f （x ，y’）型的微分方程 336

8.4.3y”=f（y，y’）型的微分方程 338

习题8-4 342

8.5二阶常系数线性齐次微分方程 343

8.5.1二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构 343

8.5.2二阶常系数线性齐次微分方程的解法 345

习题8-5 350

8.6二阶常系数线性非齐次微分方程 351

8.6.1二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构及特解的可叠加性 351

8.6.2二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 352

习题8-6 359

学习指导 360

复习思考题（八） 366

附录 370

附录A简单积分表 370

附录B希腊字母表及初等数学常用公式 375

附录C极坐标简介 379

附录D某些常用的曲线方程及其图形 380