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第一章 极限与连续性 1

§1．1 预备知识 1

1．1．1 集合与笛卡儿乘积 1

1．1．2 映射与函数 2

1．1．3 初等函数 4

1．1．4 实数基本定理 6

习题1．1 7

§1．2 极限 8

1．2．1 数列的极限 8

1．2．2 函数的极限 12

1．2．3 无穷小量 16

1．2．4 极限的四则运算法则 18

习题1．2(1) 20

1．2．5 极限的存在准则·实数基本定理(续) 22

1．2．6 两个基本极限 26

1．2．7 无穷小量的阶与主部 29

习题1．2(2) 30

1．2．8 级数的基本概念 31

习题1．2(3) 35

§1．3 连续函数 36

1．3．1 连续函数概念 36

1．3．2 连续函数的运算法则 38

1．3．3 连续函数的性质·一致连续性 41

习题1．3 44

第二章 导数与微分 46

§2．1 导数 46

2．1．1 速度与切线问题 46

2．1．2 导数的定义 47

2．1．3 求导法则 49

1)导数的四则运算法则 49

2)反函数求导法则 50

3)复合函数求导法则 51

5)参数式函数求导法则 53

4)隐函数求导法则 53

6)取对数求导法则 54

2．1．4 导数基本公式表 54

2．1．5 高阶导数 55

习题2．1 57

§2．2 微分 59

2．2．1 微分概念 59

2．2．2 微分的应用 61

2．2．3 高阶微分 62

2．3．1 中值定理 63

习题2．2 63

§2．3 微分学中值定理 63

2．3．2 泰勒公式 66

2．3．3 常田的马克劳林展式 68

习题2．3 69

§2．4 导数的应用 71

2．4．1 未定式的极限 71

习题2．4(1) 77

2．4．2 函数的单调性与极值 78

2．4．3 最大值与最小值 81

2．4．4 函数的凸性与拐点 82

2．4．5 渐近线 85

1)铅直渐近线 85

2)水平渐近线 85

3)斜渐近线 85

2．4．6 函数作图 87

习题2．4(2) 88

2．4．7求函数零点的数值方法 90

习题2．4(3) 92

§3．1 不定积分 93

3．1．1 不定积分概念 93

第三章 一元函数积分学 93

3．1．2 积分基本公式表 94

3．1．3 换元积分法 95

3．1．4 分部积分法 99

习题3．1(1) 101

3．1．5 有理函数的积分 102

3．1．6 三角函数有理式的积分 105

3．1．7 简单无理函数的积分 106

3．1．8 原函数非初等函数的积分 107

习题3．1(2) 108

3．2．1 基本概念 109

§3．2 简单的微分方程 109

3．2．2 可分离变量的方程 110

3．2．3 齐次方程 111

习题3．2(1) 114

3．2．4一阶线性方程 114

3．2．5JL类特殊的二阶方程 117

习题3．2(2) 119

§3．3 定积分 120

3．3．1 定积分的定义 120

3．3．2 函数的可积性 123

3．3．3 定积分的性质·积分中值定理 125

6．1．6 连续函数的性质·一致连续性 127

习题3．3(1) 128

3．3．4 定积分的计算 130

1)牛顿-莱布尼兹公式 130

2)换元积分法 132

3)分部积分法 134

3．3．5 数值积分方法 136

1)梯形法 136

2)辛普森法 137

3)龙贝格法 138

习题3．3(2) 139

§3．4 定积分的应用 141

3．4．1 微元法 141

1)平面图形的面积 142

3．4．2 定积分在几何上的应用 142

2)横截面面积可求的立体体积 144

3)平面曲线的弧长 146

6．4．3 二元函数的泰勒公式 146

4)旋转曲面的面积 147

5)平面曲线的曲率 149

3．4．3 定积分在物理上的应用 150

1)引力·压力·功 150

2)质心·形心 151

3)转动惯量 152

习题3．4 153

§3．5 广义积分 155

3．5．1 两类广义积分的定义 155

3．5．2 基本性质 157

3．5．3 基本公式 158

习题3．5 159

第四章 线性代数初步 161

§4．1 矩阵及其运算 161

4．1．1 矩阵概念 161

4．1．2 矩阵的线性运算 162

4．1．4 矩阵的乘法 163

4．1．3 矩阵的转置 163

习题4．1 165

§4．2 矩阵的行列式 166

4．2．1 行列式的定义 166

4．2．2 行列式的性质 168

4．2．3 行列式的计算 172

习题4．2 175

§4．3 3维空间的向量 177

4．3．1 空间直角坐标系 177

4．3．2 3维空间的向量的几何性质 178

4．3．3 3维空间的向量的代数运算 180

1)加法与数乘 180

2)内积 183

3)外积 185

4)混合积 187

习题4．3 189

§4．4 向量函数的导数与积分 191

4．4．1 向量函数的极限 191

4．4．2 向量函数的导数 192

4．4．3 向量函数的积分 193

习题4．4 194

§5．1 平面与直线 195

5．1．1 平面的方程 195

第五章 空间解析几何 195

5．1．2 直线的方程 198

5．1．3 直线与平面的关系 202

5．1．4 平面束 203

习题5．1 205

§5．2 空间曲面 206

5．2．1 球面 206

5．2．2 柱面 207

5．2．3 锥面 208

5．2．4 旋转曲面 209

5．2．5 坐标变换 212

5．2．6 二次曲面的标准方程 214

习题5．2 215

5．3．1 曲线的一般式方程 216

§5．3 空间曲线 216

5．3．3 空间曲线在坐标平面上的投影 217

5．3．2 曲线的向量式方程 217

习题5．3 218

第六章 多元函数微分学 220

§6．1 多元函数的极限与连续性 220

6．1．1 点集基本知识 220

6．1．1 多元函数概念 221

6．1．3 多元函数的极限 224

6．1．4 累次极限 226

6．1．5 多元函数的连续性 227

习题6．1 228

§6．2 偏导数与全微分 230

6．2．1 偏导数 230

6．2．2 全微分 232

习题6．2 235

§6．3 复合函数与隐函数的偏导数 236

6．3．1 复合函数的偏导数 236

6．3．2 隐函数存在定理·隐函数的偏导数 239

习题6．3 242

§6．4 高阶偏导数与高阶微分 243

6．4．1 高阶偏导数 243

6．4．2 高阶微分 245

习题6．4 248

6．5．1 空间曲线的切线与法平面 250

§6．5 偏导数在几何上的应用 250

6．5．2 空间曲面的切平面与法线 252

习题6．5 254

§6．6 极值与条件极值 255

6．6．1 极值的定义与必要条件 255

6．6．2 极值的充分条件 256

6．6．3 最大值与最小值 258

6．6．4 条件极值(拉格朗日乘数法) 259

习题6．6 263

§6．7方向导数 264

习题6．7 266

§7．1 二重积分 267

7．1．1 二重积分的定义 267

第七章 重积分 267

7．1．2 二重积分的性质 268

7．1．3 二重积分的计算(累次积分法) 269

习题7．1(1) 273

7．1．4 二重积分的计算(换元积分法) 275

习题7．1(2) 281

§7．2 三重积分 283

7．2．1 三重积分的定义与性质 283

7．2．2 三重积分的计算(累次积分法) 284

习题7．2(1) 288

7．2．3 三重积分的计算(换元积分法) 289

习题7．2(2) 294

1)立体的体积 295

7．3．1 重积分在几何上的应用 295

§7．3 重积分的应用 295

2)曲面的面积 298

7．3．2 重积分在物理上的应用 300

1)引力 300

2)质心 301

3)转动惯量 304

习题7．3 305

§7．4 广义重积分简介 306

7．4．1 两类广义二重积分的定义 306

7．4．2 敛散性判别法 306

习题7．4 307

习题答案与提示 308

附录Ⅰ 圆的周长与面积 326

附录Ⅱ 行列式的逆序法定义 328