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第1章 函数 1

1．1 函数概念 1

1．1．1 变量 集合 区间 1

1．1．2 集合运算 5

1．1．3 映射 函数 7

1．1．4 函数的表示法 9

1．1．5 函数的几种特性 12

习题1．1 17

1．2 初等函数 19

1．2．1 反函数 19

1．2．2 基本初等函数 21

1．2．3 复合函数 25

1．2．4 初等函数 28

1．2．5 双曲函数与反双曲函数 29

习题1．2 30

1．3 建立函数关系举例 31

习题1．3 35

第1章 总习题 36

第2章 导数与极限 39

2．1 导数概念 39

2．1．1 两个等价问题 39

2．1．2 函数的导数概念 44

习题2．1 51

2．2 函数极限 52

2．2．1 引言 53

2．2．2 函数极限的定义 56

2．2．3 单侧极限 60

2．2．4 无穷小(量) 64

2．2．5 函数极限的性质 67

2．2．6 函数的连续性 76

2．2．7 无穷小的阶记号“o”与“O” 79

习题2．2 84

2．3 微分法 87

2．3．1 连续与可微 87

2．3．2 导数的四则运算 89

2．3．3 链式法则(复合函数求导法则) 93

2．3．4 隐函数微分法 98

2．3．5 反函数求导法 101

2．3．6 由参数方程表示函数的导数 103

2．3．7 微分法小结 107

习题2．3 110

第2章 总习题 113

第3章 微分学的基本定理 113

3．1 连续函数的性质 118

3．1．1 连续函数 118

习题3．1 120

3．1．2 间断点的类型 121

3．1．3 闭区间连续函数的性质 125

3．2 微分 132

3．2．1 线性近似 132

3．2．2 微分 137

习题3．2 141

3．3 中值定理 143

3．3．1 局部极值的必要条件 143

3．3．2 中值定理 147

习题3．3 154

3．4 泰勒公式 156

3．4．1 高阶导数 157

3．4．2 泰勒公式 163

习题3．4 172

3．5 小结 174

3．5．1 闭区间连续函数性质 174

3．5．2 微分 175

3．5．3 中值定理 178

3．5．4 泰勒公式 180

第3章 总习题 181

4．1 利用导数研究函数 185

4．1．1 函数为常数的条件 185

第4章 微分学的应用 185

4．1．2 单调性 187

4．1．3 局部极小和极大 189

4．1．4 凸性 197

4．1．5 函数图形的描绘 202

习题4．1 204

4．2 最大值、最小值问题 207

习题4．2 218

4．3 变化率问题 221

习题4．3 226

4．4 列微分方程 227

习题4．4 233

4．5 近似计算 234

4．5．1 函数值的近似计算 234

4．5．2 方程近似解(牛顿法) 237

习题4．5 241

4．6 平面曲线的曲率 242

4．6．1 什么是曲线的曲率 242

4．6．2 弧长的微分 244

4．6．3 曲率、曲率半径 246

习题4．6 250

第4章 总习题 251

第5章 积分 257

5．1 定积分概念 257

5．1．1 两个等价问题 257

5．1．2 定义 260

5．1．3 简单性质 几何意义 264

习题5．1 269

5．2．1 曲边梯形面积问题的再考察 272

5．2 微积分基本定理 272

5．2．2 变上限定积分 274

5．2．3 原函数 不定积分 278

5．2．4 微积分基本公式 282

习题5．2 285

5．3 定积分近似计算 286

5．3．1 数方格法 287

5．3．2 矩形法 289

5．3．3 梯形法 289

5．3．4 抛物线法 291

习题5．3 295

5．4 自然对数与指数函数 296

5．4．1 对数函数 数e 296

5．4．2 对数微分法 302

5．4．3 指数函数 303

习题5．4 306

第5章 总习题 308

第6章 积分法 310

6．1 基本积分法 310

6．1．1 基本公式 310

6．1．2 凑微分法 312

习题6．1 325

6．2 分部积分法 327

习题6．2 334

6．3 变量置换法 336

习题6．3 347

6．4．1 有理函数的部分分式法 348

6．4 有理函数积分法 348

6．4．2 可化成有理函数积分的积分示例 354

习题6．4 358

6．5 小结 359

6．5．1 定积分与不定积分 359

6．5．2 微积分基本定理 359

6．5．3 积分方法 360

6．5．4 积分计算杂例 363

习题6．5 369

第6章 总习题 370

第7章 积分的应用 374

7．1 几何应用 374

7．1．1 平面图形的面积 374

7．1．2 平面曲线的弧长 382

7．1．3 巳知平行截面积的立体体积 384

习题7．1 390

7．2 物理应用 392

7．2．1 功 392

7．2．2 侧压力 395

7．2．3 一阶矩 重心 398

7．2．4 动能 转动惯量 401

习题7．2 404

7．3 平均值 404

7．3．1 函数平均值的概念 404

7．3．2 均方根 407

习题7．3 409

第7章 总习题 409

8．1．1 定义 413

第8章 微分方程 413

8．1 基本概念 413

8．1．2 建立微分方程举例 415

习题8．1 418

8．2 一阶方程 419

8．2．1 可分离变量的一阶方程 420

8．2．2 一阶线性方程 424

8．2．3 齐次型方程 伯努利方程 429

习题8．2 433

8．3 可降阶的高阶方程 435

8．3．1 形如y(n)=f(x)的方程 435

8．3．2 不显含因变量的方程 436

8．3．3 不显含自变量的方程 439

习题8．3 441

8．4 二阶线性微分方程 442

8．4．1 二阶线性方程及其解的结构 443

8．4．2 二阶线性常系数方程 447

习题8．4 459

8．5 几个实例 460

8．5．1 中间贮槽的容积问题 460

8．5．2 间壁式换热器的温差方程 462

8．5．3 放射性废物处理问题 464

8．5．4 弹性横梁的振动问题 466

8．5．5 桥墩形状问题 468

第8章 总习题 469

9．1 涉及无穷的极限问题 473

9．1．1 函数在无穷远处的极限 473

第9章 再论极限 473

9．1．2 函数值趋于无穷大的情形 477

9．1．3 运算法则 480

9．1．4 斜渐近线 482

习题9．1 487

9．2 洛必达法则 489

9．2．1 洛必达法则 490

9．2．2 其他待定型 497

9．2．3 几点注意 502

习题9．2 507

9．3 广义积分 509

9．3．1 无穷区间上的广义积分 509

9．3．2 无界函数的广义积分 513

习题9．3 516

第9章 总习题 517

10．1 数列极限 521

10．1．1 数列 521

第10章 数列与无穷级数 521

10．1．2 收敛数列 526

10．1．3 有界数列 单调数列 532

习题10．1 535

10．2 数项级数 538

10．2．1 无穷级数 538

10．2．2 正项级数 545

10．2．3 绝对收敛级数 554

10．2．4 交错级数 558

10．2．5 小结 562

习题10．2 566

10．3．1 引言 570

10．3 幂级数 570

10．3．2 收敛半径 572

10．3．3 微分、积分和连续性 577

习题10．3 583

10．4 幂级数(续)：展开与应用 585

10．4．1 泰勒级数 585

10．4．2 数项级数的求和 592

10．4．3 其他应用 596

习题10．4 601

第10章 总习题 603

参考书目 609

附录1 高等工业学校高等数学课程教学基本要求 610

附录2 参考答案 615