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第1章 函数的极限与连续 1

1.0 预备知识 2

一、实数 2

二、代数式 4

三、数列 6

1.1 函数 7

一、函数概念 7

二、具有某种特性的函数 8

三、基本初等函数 9

四、函数运算 12

五、函数构建 14

1.2 数列的极限 14

一、数列 14

二、数列极限的定性描述 15

三、数列极限的定量描述 16

四、收敛数列的性质 18

1.3 函数的极限 20

一、x→∞时函数的极限 20

二、x→x0时函数的极限 21

1.4 无穷小量与无穷大量 23

一、无穷小量 23

二、无穷大量 24

三、无穷小量的阶 25

1.5 函数极限的性质及运算法则 26

一、极限的性质 26

二、极限运算法则 26

1.6 两个极限判定准则和两个重要极限 29

一、夹逼准则及重要极限limx→0sin x/x＝1 30

二、单调有界收敛准则及重要极限limx→∞（1＋1/x）x＝e 32

三、复利与贴现 34

四、利用等价无穷小代换求极限 35

1.7 函数的连续性 36

一、函数的改变量 36

二、函数的连续性 37

三、函数的间断点 38

四、初等函数的连续性 39

五、闭区间上连续函数的性质 40

第2章 导数与微分 42

2.1 导数的概念 43

一、引例 43

二、导数的定义 45

三、导数的几何意义 48

四、左导数和右导数 48

五、可导与连续的关系 49

2.2 函数的求导法则 49

一、函数的和、差、积、商的求导法则 49

二、反函数的求导法 51

三、复合函数的求导法 52

四、导数公式 53

五、综合杂例 54

2.3 高阶导数 55

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 56

一、隐函数的导数 56

二、由参数方程所确定的函数的导数 58

2.5 函数的微分 60

一、微分的定义 60

二、微分的几何意义 62

三、微分法则 63

四、微分形式的不变性 64

五、微分的应用 65

第3章 中值定理与导数的应用 67

3.1 微分中值定理 68

一、罗尔定理 68

二、拉格朗日定理 70

三、柯西定理 72

3.2 洛必达法则 73

3.3 函数的增减性 78

一、问题的提出 78

二、函数单调增减性的判定 79

3.4 函数的极值 81

3.5 最大值与最小值，极值的应用问题 84

一、最大值与最小值 84

二、极值的应用问题举例 86

3.6 曲线的凹向与拐点 87

3.7 函数图形的作法 90

一、曲线的渐近线 90

二、函数图形的作法 92

3.8 曲率 94

一、弧微分 94

二、曲率及其计算公式 95

三、曲率圆与曲率半径 98

3.9 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍 99

一、函数变化率——边际函数 99

二、成本 99

三、收益 100

四、函数的相对变化率——函数的弹性 101

五、需求函数与供给函数 103

六、需求弹性与供给弹性 104

七、用需求弹性分析总收益（或市场销售总额）的变化 105

第4章 不定积分 107

4.1 不定积分的概念与性质 108

一、原函数的概念 108

二、不定积分 108

三、基本积分公式 109

四、不定积分的性质 109

五、直接积分法 110

4.2 换元积分法 111

一、第一类换元积分法（凑微分法） 112

二、第二类换元积分法 117

4.3 分部积分法 119

4.4 有理函数的积分 122

一、有理函数的积分 122

二、可化为有理函数的积分举例 124

第5章 定积分 127

5.1 定积分的概念与性质 128

一、定积分问题举例 128

二、定积分的定义 130

三、定积分的几何意义 132

四、定积分的性质 132

5.2 微积分基本公式 134

一、积分上限的函数及其导数 134

二、牛顿－莱布尼茨公式 135

5.3 定积分的换元积分法和分部积分法 137

一、定积分的换元积分法 137

二、定积分的分部积分法 139

5.4 广义积分 140

一、无穷区间上的广义积分 140

二、无界函数的广义积分 142

5.5 定积分的应用 144

一、定积分的元素法 144

二、定积分在几何学中的应用 145

三、经济应用举例 151

四、物理应用举例 152

第6章 空间解析几何与向量代数 153

6.1 空间直角坐标系 154

一、空间直角坐标系 154

二、空间两点间的距离 154

6.2 向量及其线性运算 155

一、向量的概念 155

二、向量的线性运算 156

三、向量的坐标表示 157

6.3 向量的数量积与向量积 160

一、向量的数量积 160

二、向量的向量积 161

6.4 平面及其方程 163

一、平面的点法式方程 163

二、平面的一般方程 164

三、两平面的夹角 165

四、点到平面的距离 166

6.5 空间直线及其方程 167

一、空间直线的一般方程 167

二、空间直线的对称式方程与参数方程 167

三、两直线的夹角 169

四、直线与平面的夹角 169

6.6 曲面及其方程 171

一、曲面方程的概念 171

二、旋转曲面 172

三、柱面 174

四、二次曲面 174

6.7 空间曲线及其方程 177

一、空间曲线的一般方程 177

二、空间曲线的参数方程 177

三、空间曲线在坐标面上的投影 178

第7章 多元函数微分学及其应用 180

7.1 多元函数的基本概念 181

一、区域 181

二、多元函数的定义 182

三、多元函数的极限 183

四、多元函数的连续性 184

7.2 偏导数 185

一、偏导数 185

二、高阶偏导数 187

7.3 全微分及其应用 188

一、全微分的定义 188

二、全微分在近似计算中的应用 190

7.4 复合函数的微分法与隐函数的微分法 191

一、复合函数的微分法 191

二、全微分形式不变性 194

三、隐函数的微分法 195

7.5 微分法在几何上的应用 196

一、空间曲线的切线与法平面 196

二、曲面的切平面与法线 198

7.6 方向导数与梯度 200

一、方向导数 200

二、梯度 202

7.7 二元函数的极值 204

一、二元函数的极值 204

二、条件极值与拉格朗日乘数法 207

第8章 多元函数积分学 209

8.1 二重积分的概念与性质 210

一、二重积分的概念 210

二、二重积分的性质 211

8.2 二重积分的计算 213

一、直角坐标系下计算二重积分 213

二、交换二次积分次序的步骤 216

三、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算 216

四、极坐标系下计算二重积分 217

8.3 第一类曲线积分 219

一、引例 219

二、第一类曲线积分的定义与性质 220

三、第一类曲线积分的计算 221

8.4 第二类曲线积分 222

一、引例 222

二、第二类曲线积分的定义与性质 223

三、第二类曲线积分的计算 224

8.5 格林公式及其应用 226

一、格林公式 226

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 227

第9章 无穷级数 230

9.1 常数项级数的概念和性质 231

一、常数项级数的概念 231

二、收敛级数的基本性质 233

9.2 正项级数的审敛法 236

一、正项级数收敛的基本定理 236

二、比较审敛法 237

三、比值审敛法 240

四、根值审敛法 241

9.3 任意项级数及其审敛法 242

一、交错级数及其审敛法 242

二、绝对收敛与条件收敛 244

9.4 幂级数 247

一、函数项级数的概念 247

二、幂级数及其收敛性 248

三、幂级数的运算 252

9.5 函数展开成幂级数 255

一、泰勒（Tayler）中值定理 255

二、泰勒级数 257

三、函数展开成幂级数的方法 260

9.6 函数的幂级数展开式的应用 265

9.7 傅里叶（Fourier）级数 268

一、三角函数系的正交性 268

二、以2π为周期的函数f（x）展开成傅里叶级数 269

三、正弦级数与余弦级数 273

四、以2l为周期的函数f（x）展开成傅里叶级数 276

第10章 微分方程与差分方程简介 279

10.1 微分方程的基本概念 280

一、引例 280

二、微分方程的定义 282

三、微分方程的解 283

10.2 一阶微分方程 283

一、可分离变量的微分方程 283

二、齐次微分方程 285

三、一阶线性微分方程 287

四、伯努利方程 288

10.3 可降阶的高阶微分方程 289

一、y″＝f（x）型的微分方程 290

二、y″＝f（x，y′）型的微分方程 290

三、y″＝f（y，y′）型的微分方程 290

10.4 二阶常系数线性微分方程 291

一、二阶常系数线性齐次微分方程 291

二、二阶常系数线性非齐次微分方程 294

10.5 欧拉方程 297

10.6 差分方程简介 298

一、差分的概念与性质 298

二、差分方程的一般概念 299

三、一阶常系数线性差分方程 300

四、二阶常系数线性差分方程 303

10.7 微分方程与差分方程的简单应用 307

一、微分方程的应用举例 307

二、差分方程在经济学中的应用 309