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第一章 微分方程简介 1

1.1 微分方程的起源与简例 1

1.1.1 微分方程的起源和发展 1

1.1.2 微分方程模型简例 3

1.1.3 海王星的发现 7

1.2 微分方程的基本概念 11

1.2.1 常微分方程和偏微分方程 12

1.2.2 微分方程的阶数 12

1.2.3 微分方程的线性和非线性 13

1.2.4 微分方程的解 13

习题1.1 17

第二章 一阶微分方程的基本解法 18

2.1 变量分离方程与不定积分法 18

2.1.1 变量分离方程 18

2.1.2 马尔萨斯与Logistic人口模型实例分析 21

习题2.1 23

2.2 初等变换法 24

2.2.1 齐次方程 25

2.2.2 探照灯反射镜面模型实例分析 30

习题2.2 35

2.3 线性方程与常数变易法 35

2.3.1 一阶线性微分方程 35

2.3.2 电路模型实例分析 39

2.3.3 伯努利方程 40

2.3.4 Logistic人口模型实例分析 42

习题2.3 44

2.4 黎卡提方程的几种解法 45

2.4.1 特解变换法 46

2.4.2 图解法 48

2.4.3 近似解 52

习题2.4 54

2.5 恰当微分方程与积分因子法 54

2.5.1 恰当微分方程的定义与判定准则 55

2.5.2 静电场的复势 58

2.5.3 积分因子法 60

习题2.5 64

2.6 一阶隐方程与参数表示 65

2.6.1 可解出函数或自变量的方程 66

2.6.2 克莱洛方程与几何问题 68

2.6.3 不含函数或自变量的方程 70

习题2.6 71

第三章 一阶微分方程解的存在唯一性定理 72

3.1 解的存在唯一性定理 72

3.1.1 存在唯一性定理 73

3.1.2 近似计算和误差估计 81

习题3.1 82

3.2 解的延拓 82

3.2.1 饱和解及饱和区间 83

3.2.2 局部李普希兹条件 83

习题3.2 87

3.3 解对初值的连续性和可微性定理 87

3.3.1 解对初值的连续依赖性 88

3.3.2 解对初值的可微性定理 91

习题3.3 94

第四章 高阶微分方程 95

4.1 高阶方程几种特殊解法 95

4.1.1 方程不显含未知函数 95

4.1.2 不显含自变量的方程 96

4.1.3 恰当导数方程 99

习题4.1 100

4.2 高阶齐线性微分方程 100

4.2.1 齐线性微分方程的一般理论 101

4.2.2 刘维尔公式及应用 106

习题4.2 111

4.3 常系数齐线性微分方程的解法 111

4.3.1 复值函数与复值解 111

4.3.2 常系数齐线性微分方程与待定指数法 113

4.3.3 欧拉方程与待定指数法 117

习题4.3 119

4.4 贝塞尔方程与级数解 119

4.4.1 幂级数解法 120

4.4.2 二阶线性方程的幂级数解法 121

4.4.3 贝塞尔方程 122

习题4.4 126

4.5 非齐线性微分方程 126

4.5.1 非齐线性微分方程基本理论 126

4.5.2 非齐线性微分方程的常数变易法 127

4.5.3 非齐线性方程比较系数法 130

4.5.4 拉普拉斯变换法与柯西问题 135

习题4.5 141

4.6 应用案例 141

4.6.1 质点振动 141

4.6.2 第二宇宙速度计算 148

4.6.3 二阶电路在冲激函数激励下的响应 150

习题4.6 152

第五章 微分方程组 154

5.1 线性微分方程组的基础知识 155

5.1.1 记号和定义 155

5.1.2 存在唯一性定理 161

习题5.1 164

5.2 齐线性微分方程组的一般理论 165

5.2.1 解的性质 165

5.2.2 解的结构 165

习题5.2 171

5.3 常系数齐线性微分方程组 171

5.3.1 方程组的消元法 171

5.3.2 矩阵指数法 174

5.3.3 基解矩阵的计算公式 178

习题5.3 192

5.4 非齐线性微分方程组 192

5.4.1 基本性质及其解的结构 192

5.4.2 常数变易公式 193

5.4.3 拉普拉斯变换的应用 198

习题5.4 202

5.5 平面系统奇点 202

5.5.1 线性系统的奇点 202

5.5.2 非线性系统的奇点 211

5.5.3 范德坡方程及其奇点 212

习题5.5 214

5.6 生物模型应用 215

5.6.1 捕食与被捕食模型 215

5.6.2 传染病模型 225

5.6.3 诊断糖尿病模型 232

第六章 稳定性与极限环 237

6.1 稳定性与李雅普诺夫函数 237

6.1.1 稳定性 238

6.1.2 按拟线性决定稳定性 240

6.1.3 李雅普诺夫第二方法 242

习题6.1 248

6.2 极限环 249

习题6.2 253

6.3 Floquet理论 253

6.3.1 一阶方程的Floquet理论 253

6.3.2 方程组的Floquet理论 255

6.3.3 可约性理论 257

习题6.3 259

第七章 偏微分方程 260

7.1 偏微分方程简介 260

7.1.1 数理方程中常用的算子 260

7.1.2 偏微分方程的物理分类 262

7.1.3 两个自变数的方程的数学分类 263

7.1.4 定解条件 267

7.2 数学物理方程导出 269

7.2.1 建立数学物理方程的方法 269

7.2.2 均匀弦的微小振动 269

7.2.3 扩散方程 271

7.2.4 质量守恒与连续性方程 274

7.3 一阶线性偏微分方程与特征线方法 275

7.3.1 一阶线性方程特征线方法 275

7.3.2 一阶拟线性方程首次积分方法 278

习题7.3 280

7.4 齐次方程的分离变数法与达朗贝尔公式 280

7.4.1 齐次方程的分离变量法 280

7.4.2 达朗贝尔公式 284

习题7.4 288

7.5 傅里叶变换法与格林公式 289

7.5.1 热传导方程与傅里叶变换法 289

7.5.2 位势方程与格林函数 291

第八章 非线性动力系统 294

8.1 中心流形 294

8.1.1 中心流形的基本理论 294

8.1.2 含系统参数的中心流形 298

8.1.3 中心流形的性质 304

8.2 规范型 305

8.2.1 规范化的基本理论 305

8.2.2 范式型计算的例题 307

8.2.3 高维系统的规范型 310

8.3 闭轨与庞加莱映射 311

8.3.1 基本概念 311

8.3.2 庞加莱映射 314

8.4 哈密顿系统 317

8.4.1 完全可积性 318

8.4.2 哈密顿系统分析 320

8.5 局部分支 326

8.5.1 分支概念简介 326

8.5.2 鞍结型分支 328

8.5.3 跨临界型分支 331

8.5.4 叉型分支 333

8.6 霍普夫分支 336

8.6.1 霍普夫分支基本理论 336

8.6.2 霍普夫分支的计算 342

8.6.3 霍普夫分支应用例子 344

第九章 时滞微分方程 350

9.1 时滞微分方程模型简介 350

9.2 时滞微分方程的基本概念 353

9.3 齐次初值问题与分步法 358

9.3.1 单滞量的分步法 359

9.3.2 多滞量的分步法 361

9.3.3 若干附注 362

9.4 线性自治时滞系统理论 364

9.4.1 线性自治时滞方程谱及C空间的分解 364

9.4.2 线性自治DDE的稳定性 367

9.4.3 全时滞稳定 368

9.4.4 全参量分析问题 370

9.5 指数多项式方程根的分布分析 373

9.5.1 系数不依赖于τ的情形 373

9.5.2 系数依赖于τ的情形 375

9.5.3 高次指数多项式方程根的分布分析 380

9.6 时滞微分方程的霍普夫分支 387

9.6.1 时滞微分方程霍普夫分支理论 387

9.6.2 霍普夫分支性质的计算公式 388

9.7 霍普夫分支应用实例 395

9.7.1 Wright方程 395

9.7.2 具有时滞反馈的范德坡振子的分支现象 400

9.8 RFDE稳定性的一般理论 406

9.8.1 概述 406

9.8.2 李雅普诺夫泛函方法 407

9.8.3 Razumikhin型定理 412

附录 419

附录Ⅰ Matlab求解微分方程与绘图 419

附录Ⅱ 重要术语的汉英对照 444

习题答案与提示 449

参考文献 464