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预篇 1

0．1 实数 1

0．2集合 3

0．3 绝对值 6

0．4 充分条件 必要条件 10

第一章 函数 16

§1．1变量 16

1．1．1变量与常量 16

1．1．2 区间、邻域 17

1．函数的定义 19

1．2．1 单变量函数 19

§1．2 函数概念 19

2．单变量函数的几何意义 22

3．函数的表示法 25

4．隐函数 26

1．2．2 函数的几种性质 27

1．函数的有界性和无界性 27

2．函数的单调增、减性 28

1．2．3 反函数 30

§1．3 初等函数 34

1．3．1 基本初等函数 34

1． 幂函数 35

3．对数函数 36

2．指数函数 36

4．三角函数 37

5．反三角函数 39

1．3．2 复合函数 41

1．3．3 初等函数 41

1．3．4 双曲函数 43

§1．4 函数关系的建立 45

小结 49

第二章 极限 51

§2．1 数列的极限 51

2．1．1 面积问题 52

2．1．2 数列的极限概念 54

2．1．3 极限存在的唯一性定理 64

§2．2 函数的极限 66

2．2．1 当x任意趋于定值x0时函数f(x)的极限 66

2．2．2左极限与右极限 72

2．2．3 当自变量趋向无穷时函数的极限 73

2．2．4 极限与函数值的关系 76

2．2．5 无穷小量与无穷大量 77

1．无穷小量 77

2．无穷大量 78

3．无穷小量与无穷大量的关系 80

§2．3 极限的四则运算定理 82

2．3．1 函数的极限与无穷小量的关系 82

2．3．2 无穷小量的性质 83

2．3．3 极限的四则运算定理 86

§2．4 极限存在的准则 92

2．4．1 夹挤准则 92

2．4．2 重要的极限一 94

2．4．3 单调有界准则 95

2．4．4 重要的极限二 97

§2．5 无穷小量的比较 101

2．5．1 无穷小量的阶 102

2．5．2 等价无穷小 103

*2．5．3 记号“0”（Iandau的记号） 106

2．6．1函数的增量 107

§2．6 连续函数 107

2．6．2 函数在一点处连续的概念 108

2．6．3 函数间断点的类型 112

2．6．4 初等函数的连续性 112

1． 连续函数的和、差、积、商 112

2．连续函数的反函数 113

3．连续函数的复合函数 113

4．初等函数的连续性 114

2．6．5 连续函数在闭区间上的性质 119

小结 123

§3．1 导数概念 126

3．1．1 线性函数的变化率 126

第三章 导数与微分 126

3．1．2 导数的定义 128

1．速度 128

2．温度的梯度 129

3．导数的定义 130

3．1．3 求基本初等函数的导数举例 134

3．1．4导数的几何意义 137

3．1．5 函数的可导性与连续性的关系 139

§3．2 函数的微分法 141

3．2．1函数的和、差、积、商的导数 141

3．2．2复合函数微分法 144

3．2．3 反函数的导数 148

3．2．4 杂例 152

3．2．5 高阶导数 155

§3．3 微分概念 157

3．3．1 函数增量的近似值 157

3．3．2 微分的定义 159

3．3．3 微分的几何意义 162

3．3．4 复合函数的微分 微分公式 163

1． 复合函数的微分 163

2．微分公式 164

*§3．4 微分在近似计算上的应用 165

3．4．1函数的近似公式 165

3．4．2 函数值的误差估计 167

3．5．1 隐函数微分法 170

§3．5 隐函数及参量函数的导数 170

3．5．2 参量函数微分法 172

小结 178

第四章 导数的应用 180

§4．1 中值定理 180

4．1．1 罗尔定理 180

4．1．2 拉格朗日定理 182

§4．2 函数的增减性与极值 186

4．2．1函数增减的充分条件与必要条件 186

1． 函数单调的必要条件 186

2．函数单调的充分条件 187

1．定义 189

4．2．2函数的极值 189

2．极值存在的必要条件 190

3．极值存在的充分条件 190

§4．3 函数的最大值、最小值 196

§4．4 曲线的凹凸性与拐点 202

§4．5 广义中值定理 罗比塔法则 206

4．5．1 广义中值定理 206

4．5．2 罗比塔法则 208

1．？型未定式 209

2．？型未定式 212

3．其它类型的未定式 214

4．6．1水平渐近线 217

§4．6 渐近线 217

4．6．2 垂直渐近线 219

4．6．3斜渐近线 219

§4．7 函数在直角坐标系中的图形 221

§4．8台劳公式 228

4．8．1 台劳公式 229

4．8．2 马克劳林展开式 233

4．8．3 台劳公式在求极值上的应用 236

§4．9 曲率 238

4．9．1 弧长的微分 238

4．9．2 曲率 240

4．9．3 曲率圆 245

*4．9．4 渐屈线与渐伸线 249

*§4．10 方程的近似根 256

小结 261

第五章 不定积分 263

§5．1 不定积分概念 263

5．1．1 原函数 263

5．1．2 不定积分的定义 265

5．1．3 不定积分的简单性质 268

5．1．4 基本积分表 270

§5．2 基本积分法 273

5．2．1 换元积分法 273

5．2．2 分部积分法 291

§5．3 几类函数的积分法 298

5．3．1 有理函数的积分 299

1． 将真分式分解为部分分式 300

2．有理函数的积分 308

5．3．2 三角函数有理式的积分 315

*5．3．3 几种无理函数的积分 319

*§5．4 积分表的使用法 324

小结 329

第六章 定积分 331

§6．1 定积分的概念 331

6．1．1 定积分问题的引例 331

1．曲边梯形的面积 331

2．变力所作的功 335

3． 变速直线运动的路程 336

6．1．2 定积分的定义 337

6．1．3 定积分的几何意义 341

§6．2 定积分的性质 343

§6．3 定积分与原函数的关系 348

6．3．1 变上限的定积分 348

6．3．2 牛顿-莱布尼兹公式 351

6．3．3 定积分中值定理 356

§6．4 定积分的计算方法 358

6．4．1 换元公式 358

6．4．2 分部积分公式 364

§6．5 定积分的近似计算法 367

6．5．1 矩形法 368

6．5．2梯形法 369

6．5．3 抛物线法 370

6．5．4 图解积分法 375

§6．6 广义积分 378

6．6．1 积分区间为无限的广义积分 378

6．6．2 无界函数的广义积分 382

*6．6．3 广义积分的性质 385

*6．6．4 判别广义积分剑散性的准则 388

6．6．5 Г函数 392

§6．7 定积分的应用 395

1．在直角坐标系中的计算法 397

6．7．1 平面图形的面积 397

2．在极坐标系中的计算法 401

6．7．2截面面积已知的立体的体积 403

6．7．3 旋转体的体积 404

6．7．4 平面曲线的弧长 408

6．7．5 旋转体的侧面积 414

6．7．6 功 416

6．7．7 其他物理应用 419

1．液体的侧压力 419

2．引力 421

3．连续函数的平均值 422

小结 423

附录 积分表 426