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第1章 复数与复变函数 1

1.1 复数及其运算 1

1.1.1 复数的基本概念 1

1.1.2 复数的代数运算 1

1.1.3 复平面 2

1.1.4 复数的乘幂与方根 5

1.2 复球面与区域 10

1.2.1 复球面 10

1.2.2 区域 11

1.3 复变函数 13

1.3.1 复变函数的概念 13

1.3.2 映射 14

1.3.3 复变函数的极限 16

1.3.4 复变函数的连续性 18

本章小结 19

习题1 20

第2章 解析函数 23

2.1 解析函数的概念及充要条件 23

2.1.1 复变函数的导数与微分 23

2.1.2 解析函数的概念及性质 25

2.1.3 函数解析的充要条件 27

2.2 初等函数 32

2.2.1 指数函数 32

2.2.2 对数函数 33

2.2.3 幂函数 34

2.2.4 三角函数 36

2.2.5 反三角函数 39

2.2.6 双曲函数与反双曲函数 39

本章小结 40

习题2 42

第3章 复变函数的积分 44

3.1 复变函数积分的概念 44

3.1.1 复积分的定义 44

3.1.2 复积分存在的条件及计算 45

3.1.3 复积分的性质 48

3.2 复变函数积分的基本定理 49

3.2.1 柯西-古萨基本定理 49

3.2.2 基本定理的推广——复合闭路定理 50

3.2.3 原函数与不定积分 52

3.3 复变函数积分的基本公式 56

3.3.1 柯西积分公式 56

3.3.2 解析函数的高阶导数公式 57

3.4 解析函数与调和函数的关系 60

3.4.1 调和函数的概念 61

3.4.2 共轭调和函数 61

3.4.3 解析函数与调和函数的关系 62

本章小结 64

习题3 66

第4章 级数 70

4.1 复数项级数与幂级数 70

4.1.1 复数列的极限 70

4.1.2 复数项级数的概念 72

4.1.3 复数项级数的审敛法 72

4.1.4 复变函数项级数的概念 74

4.1.5 幂级数及其收敛圆 76

4.1.6 幂级数的运算和性质 80

4.2 泰勒级数 82

4.2.1 泰勒展开定理 82

4.2.2 函数展开成泰勒级数的方法 84

4.3 洛朗级数 87

4.3.1 双边幂级数的概念与性质 88

4.3.2 洛朗展开定理 89

4.3.3 函数展开成洛朗级数的方法 92

本章小结 96

习题4 100

第5章 留数 103

5.1 孤立奇点 103

5.1.1 可去奇点 103

5.1.2 极点 104

5.1.3 本性奇点 106

5.1.4 解析函数的零点与极点的关系 106

5.1.5 函数在无穷远点的性态 108

5.2 留数 110

5.2.1 留数概念及留数定理 110

5.2.2 留数的计算规则 113

5.2.3 在无穷远点的留数 115

5.3 留数在定积分计算中的应用 119

5.3.1 形如∫ 2π 0 R（cos θ， sin θ）dθ积分 119

5.3.2 形如∫ ＋∞ -∞ R（x）dx的积分 120

5.3.3 形如∫ ＋∞ -∞ R（x） eiax dx（a＞0）的积分 121

本章小结 124

习题5 128

第6章 Fourier变换 130

6.1 Fourier积分 130

6.1.1 Founer级数 130

6.1.2 Founer积分定理 132

6.2 Fourier变换 136

6.2.1 Fourier变换与Fourier逆变换的概念 136

6.2.2 单位脉冲函数的概念与性质 139

6.2.3 单位脉冲函数的Fourier变换 143

6.3 Fourier变换的性质 145

6.3.1 线性性质 145

6.3.2 位移性质 146

6.3.3 相似性质 147

6.3.4 对称性质 148

6.3 5微分性质 148

6.3.6 积分性质 149

6.3.7 Parserval等式 151

6.4 卷积与卷积定理 151

6.4.1 卷积的概念 152

6.4.2 卷积定理 155

6.5 Fourier变换的应用 157

本章小结 160

习题6 163

第7章 Laplace变换 166

7.1 Laplace变换的概念 166

7.1.1 Laplace变换的定义 166

7.1.2 Laplace变换的存在定理 168

7.1.3 周期函数的Laplace变换 171

7.2 Laplace变换的性质 173

7.2.1 线性性质 174

7.2.2 微分性质 174

7.2.3 积分性质 176

7.2.4 位移性质 178

7.2.5 延迟性质 178

7.2.6 相似性质 181

7.2.7 初值定理与终值定理 182

7.3 卷积 184

7.3.1 卷积的概念 184

7.3.2 卷积定理 185

7.4 Laplace逆变换 188

7.4.1 反演积分公式 188

7.4.2 利用留数计算反演积分 189

7.5 Laplace变换的应用 195

7.5.1 解线性常微分方程 195

7.5.2 解积分微分方程 199

7.5.3 解线性常微分方程组 201

7.5.4 解线性偏微分方程 203

7.5.5 线性系统的传递函数 206

本章小结 208

习题7 212

第8章 Matlab在复变函数与积分变换中的应用 215

8.1 Matlab编程基础 215

8.1.1 语句与变量 215

8.1.2 向量与矩阵 216

8.1.3 控制流和M文件 216

8.2 Matlab在复变函数与积分变换中的应用 218

8.2.1 复数与复矩阵的生成 218

8.2.2 复数的运算 219

8.2.3 留数 220

8.2.4 复变函数的积分 222

8.2.5 Fourier变换 224

8.2.6 Laplace变换 225

本章小结 226

习题8 227

习题答案 228

参考文献 239

附录Ⅰ Fourier变换简表 240

附录Ⅱ Laplace变换简表 243