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微积分纵览 1

第1章　函数与模型 11

1.1　表示函数的四种方法 12

1.2　数学模型：基本函数导引 27

1.3　从基本函数衍生新的函数 42

1.4　图形计算器与计算机 53

1.5　指数函数 60

1.6　反函数与对数函数 69

1　复习题 82

解题的基本原则 85

第2章　极限与导数 91

2.1　切线与速度问题 92

2.2　函数的极限 97

2.3　利用极限运算法则求极限 111

2.4　极限的严格定义 120

2.5　函数的连续性 130

2.6　无穷远的极限及水平渐近线 142

2.7　切线、速度及其他变化率 157

2.8　导数 165

课外读写 早期求切线的方法 172

2.9　导函数 173

2　复习题 184

附加题 187

问题 188

第3章　求导法则 191

3.1 多项式函数与指数函数的导数 192

3.2　积函数和商函数的求导法则 201

3.3 自然科学和社会科学中的变化率 207

3.4　三角函数的导数 220

3.5　求导的链式法则 226

3.6　隐函数求导 236

3.7　高阶导数 245

应用研究 驾驶员从何处开始降落？ 252

应用研究　如何修建环形滑车道？ 252

3.8　对数函数的导数 253

3.9　双曲函数 258

3.10　相关变化率 265

3.11　线性近似与微分 271

实验课题　泰勒多项式 278

3　复习题 279

附加题 283

问题 284

第4章　导数的应用 287

4.1　最大值与最小值 288

应用研究 彩虹与微积分 297

4.2　中值定理 299

4.3　导数在绘图上的应用 305

4.4　不定型求导与洛必达法则 317

课外读写 洛必达法则的起源 325

4.5　曲线绘图 325

4.6　用图形计算器绘图 335

4.7　优化问题 343

应用研究　罐的形状 353

4.8　导数在商业和经济上的应用 354

4.9　牛顿方法 359

4.10　原函数 365

4　复习题 373

附加题 377

问题 377

第5章　积分 381

5.1　面积与距离 382

5.2　定积分 393

自由探索 面积函数 405

5.3　积分基本定理 406

5.4　不定积分与牛顿-莱布尼茨公式 417

课外读写 牛顿、莱布尼茨与微积分的发明 425

5.5　变量代换法则 426

5.6　对数函数的积分表达形式 433

5　复习题 440

附加题 443

练习 444

第6章　定积分的应用 447

6.1　两条曲线间的面积 448

6.2　体积 455

6.3　柱面法求体积 466

6.4　功 471

6.5　函数的均值 476

应用研究 电影院里座位的选择 479

6　复习题 479

附加题 481

第7章　积分方法 485

7.1　分部积分法 486

7.2　三角函数的积分法 493

7.3　三角代换积分法 499

7.4　有理函数的部分分式积分法 506

7.5　积分策略 514

7.6　利用积分表及计算机代数系统求积分 520

自由探索 积分计算的规律 526

7.7　积分的近似计算 527

7.8　反常积分 539

7　复习题 550

附加题 553

问题 554

第8章　定积分的进一步应用 557

8.1　弧长的计算 558

自由探索 最优弧长 564

8.2　旋转曲面面积 565

自由探索 沿倾斜轴旋转的曲面面积 570

8.3　物理和工程中的应用 572

8.4　经济学和生物学上的应用 581

8.5　概率中的积分 585

8　复习题 592

附加题 593

第9章　微分方程 597

9.1　利用微分方程建立模型 598

9.2　方向场和欧拉方法 603

9.3　分离变量法 611

应用研究 如何将水箱的水最快放完？ 619

应用研究 上山快还是下山快？ 620

9.4　指数增长和衰变 621

应用研究：微积分与棒球 631

9.5　逻辑斯谛方程 632

9.6　线性微分方程 641

9.7　捕食者-被捕食者问题 646

9　复习题 653

附加题 656

第10章　参数方程与极坐标 659

10.1 由参数方程定义的曲线 660

实验课题 圆沿圆周滚动 668

10.2　参数方程定义的曲线及其微积分 669

实验课题　Bézier曲线 677

10.3　极坐标系 678

10.4　极坐标系下的面积与弧长 688

10.5　圆锥曲线 693

10.6　极坐标下的圆锥曲线 701

10　复习题 706

附加题 708

奇数标号练习题的答案 710

参考公式 768

索引 779