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目录 1

第一章数·变量·函数 1

1.1 实数·实数表示为数轴上的点 1

1.2 实数的绝对值 3

1.3 变量和常量 4

1.4 变量的范围 5

1.5 有序变量·递增和递减的变量·有界变量 7

1.6 函数 8

1.7 表示函数的方法 9

1.8 基本初等函数·初等函数 12

1.9 代数函数 17

1.10极坐标系 19

第一章习题 21

第二章极限·函数的连续性 23

2.1 变量的极限·无穷大量 23

2.2 函数的极限 26

2.3 趋向无穷大的函数·有界函数 30

2.4 无穷小量及其基本性质 34

2.5 关于极限的基本定理 38

2.6 当x→0时函数sinx/x的极限 44

2.7数e 46

2.8自然对数 52

2.9函数的连续性 53

2.10连续函数的一些性质 59

2.11无穷小量的比较 61

第二章习题 65

第三章导数和微分 71

3.1 运动的速度 71

3.2 导数的定义 73

3.3 导数的几何意义 76

3.4 函数的可微性 77

3.5 函数y=xn的导数，n是一个正整数 80

3.6 函数y=sinx,y=cosx的导数 82

3.7 常量的导数·常量与函数积的导数·和、积以及商的导数 84

3.8 对数函数的导数 91

3.9 复合函数的导数 92

3.10 函数y=tanx,y=cotx,y=ln｜x｜的导数 95

3.11隐函数及其微分法 97

3.12关于任意实指数的幂函数，一般指数函数和复合指数函数的导数 99

3.13反函数及其微分法 102

3.14反三角函数及其微分法 106

3.15微分法的基本公式 112

8.16函数的参数表示 113

3.17用参数形式表示曲线方程 116

3.18参变量函数的导数 119

3.19双曲函数 121

3.20微分 125

3.21微分的几何意义 130

8.22高阶导数 132

3.23高阶微分 134

3.24隐函数和参变量函数的高阶导数 136

3.25二阶导数的力学意义 140

3.26切线和法线方程·次切距和次法距的长度 141

3.27向径对极角导数的几何意义 145

第三章习题 147

第四章可微分函数的一些定理 165

4.1 导数根的定理（罗尔定理） 165

4.2 中值定理（拉格朗日定理） 167

4.3 广义中值定理（柯西定理） 169

4.4 两个无穷小量之比的极限（计算0/0型的不定式） 171

4.5 两个无穷大量之比的极限（计算∞/∞型的不定式） 173

4.6 泰勒公式 181

4.7 用泰勒公式求函数ex,sinx和cosx的展开式 186

第四章习题 191

第五章函数性态的研究 197

5.1 问题的引出 197

5.2 函数的增减性 198

5.3 函数的极大值和极小值 200

5.4 用一阶导数求可微分函数的极大值和极小值 208

5.5 用二阶导数判断函数的极大值和极小值 211

5.6 函数在闭区间上的最大值和最小值 216

5.7 利用函数极大值和极小值的理论解应用问题 218

5.8 利用泰勒公式求函数的极大值和极小值………………（221 ）5.9 曲线的凸凹性·拐点 224

5.10渐近线 232

5.11研究函数和绘制图形的一般方法 239

5.12研究由参数方程表示的曲线 245

第五章习题 251

第六章曲线的曲率 260

6.1弧长及其导数 260

6.2 曲率 263

6.3 曲率的计算 265

6.4 计算由参数表示的曲线的曲率 268

6.5 计算由极坐标方程给出曲线的曲率 269

6.6 曲率半径和曲率圆·曲率中心·渐屈线和渐伸线 271

6.7 渐屈线的性质 278

6.8 方程的近似实根 282

第六章习题 288

第七章复数·多项式 292

7.1 复数·基本定义 292

7.2 复数的基本运算 294

7.3 复数的乘方与开方 298

7.4 复指数的指数函数及其性质 302

7.5 欧拉公式·复数的指数式 305

7.6 多项式的因式分解 307

7.7 多项式的重根 311

7.8 含复数根的多项式的分解 313

7.9 插值法·拉格朗日插值公式 315

7.10牛顿插值公式 318

7.11数值微分法 320

7.12用多项式最佳逼近函数·切比雪夫的理论 322

第七章习题 323

第八章多元函数 326

8.1多元函数的定义 326

8.2二元函数的几何表示 330

8.3函数的偏增量和全增量 330

8.4多元函数的连续性 332

8.5多元函数的偏导数 337

8.6 二元函数偏导数的几何解释 339

8.7 全增量与全微分 340

8.8 利用全微分作近似计算 344

8.9 利用全微分估计计算中的误差 346

8.10复合函数的偏导数·全导数·复合函数的全微分 351

8.11隐函数的导数 357

8.12高阶偏导数 361

8.13等值面 367

8.14方向导数 369

8.15梯度 372

8.16二元函数的泰勒公式 376

8.17多元函数的极大值和极小值 379

8.18用已知方程联系的多元函数的极大值与极小值（条件极大值和极小值） 390

8.19根据实验数据用最小二乘法求函数 397

8.20曲线的奇点 402

第八章习题 409

第九章微分在立体几何中的应用 417

9.1 空间曲线的方程 417

9.2 标量自变量的向量函数的极限和导数·曲线的切线方程·法平面方程 420

9.3 向量（向量函数）的微分法则 429

9.4 向量对弧长的一阶和二阶导数·曲线的曲率·主法线·作曲线运动的点的速度和加速度 433

9.5 密切面·次法线·挠率 444

9.6 曲面的切平面与法线 450

第九章习题 455

第十章不定积分……………………………………………………（458 ）10.1原函数和不定积分 458

10.2积分表 461

10.3 不定积分的某些性质 464

10.4置换积分法（变量代换） 467

10.5包含二次三项式的某些函数的积分 470

10.6分部积分法 474

10.7有理分式·部分有理分式和它们的积分 479

10.8有理分式分解成部分分式 485

10.9有理分式的积分 491

10.10无理函数的积分 495

10.11 ∫R(x,？)dx型的积分 497

10.12某些三角函数类的积分 502

10.13用三角代换求某些无理函数的积分 508

10.14关于不能用初等函数表示其积分的函数 511

第十章习题 513

11.1问题的提出·下和及上和 534

第十一章定积分 534

11.2定积分·定积分存在的证明 536

11.3定积分的基本性质 550

11.4计算定积分·牛顿——莱布尼兹公式 554

11.5定积分的变量代换法 559

11.6分部积分法 561

11.7广义积分 564

11.8定积分的近似计算 573

11.9切比雪夫公式 580

11.10含参数积分·Г函数 586

11.11实变量的复函数的积分 590

第十一章习题 591

第十二章定积分在几何与力学中的应用 597

12.1在直角坐标系中计算面积 597

12.2极坐标系中曲线扇形的面积…………………………………（601 ）12.3曲线的弧长 602

12.4由已知平行截面面积计算立体的体积 610

12.5旋转体的体积 612

12.6旋转体的侧面积 614

12.7用定积分计算功 616

12.8重心的坐标 618

12.9用定积分计算线、圆和圆柱的转动惯量 622

第十二章习题 625