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第一章 张量概念及其代数运算 1

§1 坐标与坐标变换 1

一、三维空间中点的坐标表示 1

二、n维空间 6

三、向量（矢量） 7

四、爱因斯坦求和约定 11

五、坐标变换 12

六、向量的逆变分量与协变分量 17

§2 张量概念 21

一、几个实例 21

二、张量定义 24

三、张量的整体表示 28

四、各种张量 29

§3 张量的代数运算 32

一、加法 33

二、乘法 33

三、缩并 34

四、张量的内乘 35

五、指标的升降 36

六、同名指标的互换 36

七、商律（除法定则）——张量识别法则 37

§4 仿射正交张量 39

一、仿射张量 39

二、仿射正交张量与笛卡尔张量 40

三、三维空间中的二阶仿射正交张量 42

§5 张量概念的推广——张量密度 47

一、两个实例 47

二、张量密度的概念 48

三、张量密度的运算 49

四、一个特殊的张量密度——勒维－奇维塔张量密度 50

第一章 习题 51

第二章 度量空间与度规张量 55

§1 什么是黎曼几何 55

一、欧氏几何 55

二、内蕴几何 55

三、黎曼几何 59

§2 空间与度规 60

一、欧氏空间 60

二、欧氏度规 61

三、黎曼度规与黎曼空间 63

四、黎曼空间与欧氏空间的关系 64

§3 黎曼几何的某些概念 66

一、黎曼空间中的向量及其标积 66

二、向量的平移 67

三、一般张量的平移 73

四、克里斯托菲符号 75

五、坐标变换时联络系数的变换规律 78

六、黎曼空间中曲线的弧长 80

七、短程线的微分方程 81

第二章 习题 83

第三章 张量的协变（绝对）微分 86

§1 一阶张量的协变微分 86

一、逆变（与协变）向量的协变微分 86

二、一阶张量协变微分的几何解释 89

三、协变导数与协变微分的张量性质 90

§2 一般张量的协变微分与微分法则 92

一、一般张量的协变微分 92

二、协变微分法则 93

一、协变微分与平移的关系 95

§3 协变微分与平移 95

二、向量在平移时的标积 96

三、自平行线——测地线与短程线 97

§4 黎曼空间中向量分析的概念 99

一、标量场的梯度 99

二、向量场的散度 99

三、向量场的旋度 102

第三章 习题 104

第四章 曲率张量 106

§1 空间“平直性”的判别 106

一、平直空间与绝对平行性 106

二、空间为平直的要充条件 109

一、混合曲率张量Rkmp？的性质 110

§2 曲率张量的性质 110

二、协变曲率张量Rkmp？的性质 112

三、曲率张量的降阶 114

§3 黎曼曲率（截面曲率） 116

一、二维曲面的高斯曲率 116

二、黎曼坐标 120

三、黎曼曲率（截面曲率） 124

四、常曲率空间 128

第四章 习题 130

§1 弹性力学中的两个重要张量 133

一、应力张量 133

第五章 张量应用简述 133

二、应力主轴 138

三、应变张量 139

四、应变主轴 143

五、广义虎克定律 143

§2 相对论引言 144

一、相对论的产生 144

二、狭义相对论四维伪欧空间 145

三、广义相对论 152

附录Ⅰ 欧氏空间中的正交曲线坐标 157

附录Ⅱ 公式一览表 166

主要参考书 176