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1．典型方程和定解条件 1

1．1 基本方程的建立 1

1．2 初始条件和边界条件 6

1．3 定解问题的提法 8

习题一 10

2．分离变量法 12

2．1 有界弦的自由振动 12

2．2 有限长杆上的热传导 20

2．3 极坐标系下位势方程的分离变量法 22

2．4 非齐次方程的特征函数法 26

2．5 非齐次边界条件的齐次化 29

2．6 Sturm-Liouville问题 32

2．7 高维高阶方程的分离变量法 35

2．8 波动方程混合问题的适定性 45

习题二 50

3．积分变换法 52

3．1 付立叶(Fourier)变换及性质 52

3．1．1 付立叶(Fourier)积分与付立叶(Fourier)变换 52

3．1．2 付立叶(Fourier)变换的性质 54

3．2 付立叶(Fourier)变换在数理方程中的应用 56

3．3 拉普拉斯(Laplace)变换 62

3．3．1 拉普拉斯(Laplace)变换的概念 62

3．3．2 拉普拉斯(Laplace)变换的存在定理 64

3．4．1 拉普拉斯(Laplace)变换的性质 66

3．3．3 拉普拉斯(Laplace)变换的反演公式 66

3．4 拉普拉斯(Laplace)变换的性质及逆变换 66

3．4．2 拉普拉斯(Laplace)变换的逆变换 71

3．5 拉普拉斯(Laplace)变换在数理方程中的应用 74

3．6 极值原理 热传导问题解的适定性 77

3．6．1 热传导问题解的存在性 77

3．6．2 极值原理 78

3．6．3 热传导混合问题解的唯一性与稳定性 79

3．6．4 热传导柯西(Cauchy)问题解的唯一性与稳定性 80

3．7 δ函数 基本解 82

3．7．1 一维波动方程泊松(Poisson)公式的物理意义 82

3．7．2 δ函数 83

3．7．3 广义函数及其付立叶(Fourier)变换 85

3．7．4 基本解 90

习题三 94

4．行波法 96

4．1 一维波动方程的达朗贝尔(D Alembert)公式 96

4．1．1 达朗贝尔(D Alembert)公式 96

4．1．2 解的物理意义 98

4．1．3 半无限长弦的自由振动问题 99

4．1．4 一维非齐次波动方程的柯西(Cauchy)问题 101

4．2 三维波动方程的柯西(Cauchy)问题 102

4．2．1 三维波动方程的泊松(Poisson)公式 102

4．2．2 降维法 107

4．2．3 泊松(Poisson)公式的物理意义 109

4．2．4 三维非齐次波动方程的柯西(Canchy)问题 110

习题四 111

5．格林(Green)函数法 113

5．1 拉普拉斯(Laplace)方程的对称解与格林(Creen)公式 113

5．1．1 拉普拉斯(Laplace)方程的对称解 113

5．1．2 格林(Green)公式及其应用 115

5．1．3 调和函数的基本性质 119

5．1．4 狄利克莱(Dirichlet)问题的唯一性和稳定性 122

5．2．1 格林(Green)函数 123

5．2 格林(Creen)函数的基本概念 123

5．2．2 格林(Green)函数的基本性质 127

5．3 常见区域的格林(Green)函数与边值问题 130

5．3．1 球域的格林(Green)函数 131

5．3．2 上半空间的格林(Green)函数与狄利克莱问题 134

5．3．3 圆域的格林(Green)函数 135

5．3．4 上半平面的格林(Green)函数 136

习题五 138

6．二阶线性偏微分方程的分类与小结 139

6．1 两个自变量的二阶线性方程 139

6．1．1 方程变换与特征线 139

6．1．2 方程的类型及其标准形式 142

6．2．1 方程的分类 147

6．2 n个自变量的二阶线性方程 147

6．2．2 方程的简化 150

6．3 小结 154

6．3．1 三类方程的比较 154

6．3．2 广义解的基本概念 158

习题六 162

7．偏微分方程的差分法 163

7．1 抛物型方程的差分法 163

7．1．1 导数的差商近似 163

7．1．2 一维热传导方程的差分格式 165

7．1．3 相容性、收敛性和稳定性 169

7．1．4 分析稳定性的Fourier方法 172

7．2 双曲型方程的差分法 178

7．2．1 一阶双曲型方程 178

7．2．2 一阶线性双曲型方程组 185

7．2．3 波动方程的差分格式 186

7．3 椭圆型方程的差分法 189

7．3．1 Poisson方程的差分格式 189

7．3．2 边值条件的处理 190

7．3．3 差分格式解的存在唯一性 191

习题七 193

附录Ⅰ 付氏(Fourier)变换简表 196

附录Ⅱ 拉氏(Laplace)变换简表 197

参考文献 201