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第一章　微积分的概念 1

1.1　函数与极限 1

1.1.1　数列极限与函数极限 1

1.1.2　连续函数 2

1.2　定积分 5

1.2.1　计算面积 5

1.2.2　定积分的定义 9

1.2.3 对数函数y=ln x 14

1.3.1　曲线的切线 18

1.3　微商与微分 18

1.3.2　速度、密度 19

1.3.3　微商的定义 20

1.3.4　微分 24

1.3.5　微分中值定理 26

1.4　微积分基本定理 30

第二章　微积分的运算 34

2.1 微分法 34

2.1.1　微商与微分的计算 34

2.1.2　高阶微商与高阶微分 43

2.1.3　利用微分作近似计算 47

2.2.1　不定积分的计算 54

2.2　积分法 54

2.2.2　定积分的计算 72

2.2.3　定积分的近似计算 79

第三章　微积分的一些应用 85

3.1　面积、体积、弧长 85

3.1.1　面积 85

3.1.2　体积 87

3.1.3　弧长 89

3.2.1 函数图形的上升和下降 93

3.2　曲线的描绘 93

3.2.2　函数图形的凹与凸 95

3.2.3　曲线的渐近线 97

3.2.4　描绘图形的例子 99

3.2.5　曲率 101

3.3　Taylor（泰勒）展开与极值问题 105

3.3.1　Taylor（泰勒）展开式 105

3.3.2　极值问题 110

3.4　物理应用举例 119

4.1　一阶微分方程 125

4.1.1　概念 125

第四章　常微分方程 125

4.1.2　分离变量 128

4.1.3　线性方程 135

4.2　二阶微分方程 141

4.2.1 可降阶的方程 141

4.2.2　二阶线性方程 144

4.2.3　常系数线性方程 153

4.2.4　质点振动 162

4.2.5　n阶线性微分方程与常微分方程组 167

5.1.1　直角坐标系 179

5.1　空间直角坐标系与矢量 179

第五章　矢量代数与空间解析几何 179

5.1.2　矢量的加法与数乘 180

5.2　矢量的乘积 184

5.2.1　矢量的内积 184

5.2.2　矢量的外积 186

5.2.3　矢量的混合积 188

5.3　平面与直线 191

5.3.1　平面方程 191

5.3.2　直线方程 194

5.4.1　柱面 197

5.4　二次曲面 197

5.4.2　旋转曲面 199

5.4.3　锥面 200

5.4.4　椭球面 201

5.4.5　双曲抛物面 202

5.4.6　单叶双曲面 203

5.4.7　双叶双曲面 203

5.4.8　椭圆抛物面 204

5.5　坐标变换 205

5.5.1　坐标系的平移 206

5.5.2　坐标系的旋转 207

第六章 重积分与偏微商 211

6.1　重积分 211

6.1.1 多变量函数的极限与连续性 211

6.1.2　重积分的概念 213

6.1.3　重积分的计算 216

6.2　偏微商 225

6.2.1　偏微商与全微分 225

6.2.2　隐函数的微商 233

6.3 Jacobi（雅可比）行列式、面积元素与体积元素 247

6.3.1 Jacobi（雅可比）行列式的性质 247

6.3.2　面积元素与体积元素 248

第七章　线、面积分与外微分形式 263

7.1　数量场与矢量场 263

7.1.1　数量场的等值面与梯度 263

7.1.2　矢量场的流线 266

7.2　曲线积分 270

7.2.1　第一种曲线积分（关于弧长的曲线积分） 270

7.2.2　第一种曲线积分的应用（旋转曲面的面积） 273

7.2.3　第二种曲线积分（关于弧长元素投影的积分） 274

7.2.4　第二种曲线积分的计算方法 277

7.2.5　两种曲线积分的关系 278

7.2.6　矢量场的环流量，矢量的曲线积分 279

7.3　曲面积分 283

7.3.1 第一种曲面积分（关于面积元素的曲面积分） 283

7.3.2　矢量场的通量，第二种曲面积分（关于面积元素投影的积分） 285

7.3.3　第二种曲面积分的计算方法 287

7.4 Stokes公式 292

7.4.1 Green公式 292

7.4.2 Gauss公式、散度 295

7.4.3 Stokes公式、旋度 300

7.5.1　与途径无关的曲线积分 308

7.5　全微分与线积分 308

7.5.2　有势场 312

7.5.3　管型场 314

7.6　外微分形式 317

7.6.1　外乘积、外微分形式 317

7.6.2　外微分运算，Poincaré引理及其逆 323

7.6.3　梯度、旋度与散度的数学意义 329

7.6.4　多变量微积分的基本定理（Stokes公式） 331

8.1　Taylor（泰勒）展开与极值问题 335

8.1.1　多变量函数的Taylor展开 335

第八章 多变量微积分的一些应用 335

8.1.2　多变量函数的极值问题 336

8.1.3　条件极值问题 340

8.2　物理上的应用举例 345

8.2.1　重心、转动惯量与引力 345

8.2.2　流体动力学的完全方程组 350

8.2.3　声的传播 353

8.2.4　热的传导 354

第九章　ε-δ语言 358

9.1　数列极限的ε-N语言 358

9.1.1　数列极限的定义 358

9.1.2　数列极限的一些性质 359

9.1.3　极限存在的判别准则 362

9.2　函数连续性的ε-δ语言 370

9.2.1　连续趋限 370

9.2.2　连续函数的定义 376

9.2.3　连续函数的一些基本性质 378

9.2.4　函数的一致连续性 380

9.3　定积分的存在性 386

9.3.1　Darboux和 386

9.3.2　连续函数的可积性 387

9.3.3　定积分概念的推广 393

第十章　无穷级数与无穷积分 400

10.1　数项级数 400

10.1.1　基本概念 400

10.1.2　一些收敛判别法 402

10.1.3　条件收敛级数 406

10.2　函数项级数 414

10.2.1　无穷次相加产生的问题 414

10.2.2　一致收敛函数列 415

10.2.3　一致收敛函数项级数 419

10.2.4　隐函数存在定理 422

10.2.5　常微分方程解的存在性与唯一性 426

10.3.1　幂级数的收敛半径 433

10.3　幂级数与Taylor级数 433

10.3.2　幂级数的性质 436

10.3.3　Taylor级数 440

10.3.4　幂级数的应用 446

10.4　无穷积分与含参变量积分 459

10.4.1　无穷积分的收敛判别法 459

10.4.2　含参变量的积分 469

10.4.3　含参变量的无穷积分 473

10.4.4　几个重要的无穷积分 486

11.1.1 三角函数系的正交性 498

第十一章 Fourier级数与Fourier积分 498

11.1 Fourier级数 498

11.1.2 Bessel不等式 507

11.1.3 Fourier级数的收敛判别法 510

11.2 Fourier积分 515

11.2.1 Fourier积分 515

11.2.2 Fourier变换 517

11.2.3 Fourier变换的应用 521

11.2.4　高维Fourier变换 523

习题答案 525