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第7章 空间解析几何 1

7.1空间直角坐标系 1

习题7.1 3

7.2向量代数 3

7.2.1向量的概念 3

7.2.2向量的加法与数乘 4

7.2.3向量的坐标 7

7.2.4向量的数量积 11

7.2.5向量的向量积 15

7.2.6向量的混合积 19

习题7.2 21

7.3.1平面的方程 23

7.3平面与直线 23

7.3.2两平面的关系 25

7.3.3点到平面的距离 27

7.3.4直线的方程 28

7.3.5两直线的位置关系 30

7.3.6点到直线的距离 32

7.3.7直线与平面的关系 32

习题7.3 34

7.4常见曲面 37

7.4.1柱面 37

7.4.2旋转曲面 38

7.4.3椭球面 39

7.4.4单叶双曲面 40

7.4.5双叶双曲面 41

7.4.6二次锥面 42

7.4.7椭圆抛物面 43

7.4.8双曲抛物面 44

习题7.4 45

7.5空间坐标变换 46

7.5.1坐标系的平移 46

7.5.2球坐标 47

习题7.5 48

第8章 多变量函数的微分学 49

8.1平面点集及R2的完备性 49

8.1.1 平面点集的一些基本概念 49

8.1.2开集与闭集 51

8.1.3连通集 51

8.1.4 R2的完备性 53

习题8.1 54

8.2映射及其连续性 55

8.2.1映射、多元函数、向量值函数的概念 55

8.2.2多元函数的极限 57

8.2.3多元函数的连续性 58

8.2.4映射的极限和连续性 59

习题8.2 59

8.3多变量函数的微分和偏微商 61

8.3.1多变量函数的微分 61

8.3.2多元函数的偏导数 61

8.3.3 高阶偏微商 64

习题8.3 66

8.4.1复合函数求导的链式法则 68

8.4复合函数的微分法 68

8.4.2Jacobi矩阵 71

8.4.3方向导数、梯度 72

8.4.4一阶微分的形式不变性 74

8.4.5例题 74

习题8.4 75

8.5隐函数的微分法 77

8.5.1多元方程所确定的隐函数的存在定理 77

8.5.2由方程组所确定的隐函数组 80

习题8.5 82

8.6向量值函数的微分法 85

8.6.1一元向量值函数的微分法 85

8.6.2二元向量值函数的微分法 86

8.6.3隐式曲面的法向量和两隐式曲面交线的切向量 89

习题8.6 92

8.7 多元函数的Tay1or公式与极值 93

8.7.1 二元函数的Taylor公式 93

8.7.2多变量函数的极值 95

8.7.3条件极值 98

习题8.7 105

第9章 多变量函数的重积分 108

9.1二重积分 108

9.1.1二重积分的概念 108

9.1.2二维闭区间上二重积分的定义 109

9.1.3二维闭区间上二重积分的累次积分法 110

9.1.4 平面有界集上二重积分的定义和性质 112

9.1.5关于面积和二重积分的定义 114

9.1.6有界集上二重积分的累次积分法 116

习题9.1 120

9.2二重积分的变量代换 121

9.2.1 曲线坐标和面积元素 121

9.2.2二重积分的变量代换 123

9.2.3例题 124

9.2.4 广义二重积分 128

习题9.2 130

9.3三重积分 132

9.3.1三重积分的定义 132

9.3.2三重积分的累次积分法 133

9.3.3三重积分的变量代换 138

习题9.3 140

9.4重积分应用举例 142

9.4.1重心与转动惯量 142

9.4.2物体的引力 146

习题9.4 148

第10章 曲线积分和曲面积分 149

10.1第一型曲线积分 149

10.1.1空间曲线的弧长 149

10.1.2第一型曲线积分 152

习题10.1 155

10.2空间曲线的曲率 156

10.2.1主法向量和副法向量 156

10.2.2空间曲线的曲率 157

10.2.3平面曲线的曲率 158

10.2.4 平面曲线的曲率圆 159

习题10.2 160

10.3第一型曲面积分 160

10.3.1曲面的面积 160

10.3.2第一型曲面积分 164

习题10.3 166

10.4第二型曲线积分 167

10.4.1定向曲线 167

10.4.2第二型曲线积分的定义 168

10.4.3第二型曲线积分的计算与性质 168

10.4.4 Green定理 172

习题10.4 174

10.5.1双侧曲面及其定向 175

10.5第二型曲面积分 175

10.5.2第二型曲面积分的定义 177

10.5.3第二型曲面积分的计算 177

10.5.4第二型曲面积分的性质 178

10.5.5有向面积元素 178

10.5.6例子 179

习题10.5 183

10.6Gauss定理和Stokes定理 184

10.6.1 量场的散度 184

10.6.2 Gauss定理 184

10.6.3 Stokes定理 188

10.6.4旋度 190

习题10.6 192

10.7保守场 194

10.7.1恰当微分形式和有势场 194

10.7.2全微分的积分 195

10.7.3保守场 195

10.7.4无旋场 197

10.7.5全微分方程 199

习题10.7 200

10.8外微分形式 202

10.8.1积分中的定向 202

10.8.2基本外微分形式及其不变性 205

10.8.3外微分形式和外微分形式的外积 207

10.8.4外微分形式的外微分 208

10.8.5 Stokes公式 209

10.8.6恰当微分形式 210

习题10.8 212

10.9 Hamilton算符 212

习题10.9 215

第11章 无穷级数 216

11.1数项级数 216

11.1.1无穷级数的基本概念 216

11.1.2正项级数 218

11.1.3级数收敛的一般判别法 224

11.1.4绝对收敛与条件收敛 225

11.1.5分部求和法 227

习题11.1 229

11.2.1函数列和函数项级数的收敛性 231

11.2函数列和函数项级数 231

11.2.2函数列和函数项级数的一致收敛性 232

11.2.3一致收敛的函数列和一致收敛级数的性质 236

习题11.2 238

11.3幂级数和Taylor展式 240

11.3.1幂级数的收敛半径 240

11.3.2幂级数的性质 243

11.3.3函数的Taylor展开式 247

113.4某些初等函数的Taylor展开式 249

习题11.3 252

11.4级数的应用 254

11.4.1微分方程的幂级数解 254

11.4.2 Stirling公式 257

习题11.4 259

第12章 广义积分和含参变量的积分 260

12.1广义积分 260

12.1.1无穷积分的收敛性 260

12.1.2 收敛的精细判别法 262

12.1.3无界函数积分的收敛判别法 264

习题12.1 266

12.2含参变量的常义积分 267

12.2.1含参变量的常义积分的性质 267

12.2.2积分限依赖于参变量的积分的性质 270

习题12.2 272

12.3含参变量的广义积分 273

12.3.1含参变量的广义积分的一致收敛性 273

12.3.2一致收敛积分的性质 276

12.3.3几个重要的积分 280

习题12.3 284

12.4.Euler积分 286

12.4.1 Γ函数的性质 286

12.4.2 B函数的性质 288

习题12.4 291

第13章 Fourier分析 293

13.1周期函数的Fourier级数 293

13.1.1 三角函数系的正交性和Fourier级数 293

13.1.2偶函数与奇函数的Fourier级数 297

13.1.3任意周期的情形 299

13.1.4有限区间上的函数的Fourier级数 301

13.1.5 Fourier级数的复数形式 306

13.1.6 Bessel不等式 307

习题13.1 310

13.2 广义Fourier级数 312

13.2.1 广义Fourier级数 312

13.2.2 Bessel不等式和正交函数系的完备性 314

习题13.2 316

13.3 Fourier变换 316

13.3.1 Fourier积分 316

13.3.2 Fourier变换 318

13.3.3 Fourier变换的性质 321

习题13.3 324

附录 326

A1参考答案 326

A2参考教学进度 342