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第一章 函数 1

1.1 函数 1

一、函数概念 1

二、函数的四则运算 5

三、函数的图像 7

四、数列 9

练习题1.1 10

1.2 四类具有特殊性质的函数 12

一、有界函数 12

二、单调函数 16

三、奇函数与偶函数 18

四、周期函数 19

练习题1.2 21

1.3 复合函数与反函数 22

一、复合函数 22

二、反函数 25

三、初等函数 29

练习题1.3 33

第二章 极限 35

2.1 数列极限 35

一、极限思想 35

二、数列｛（-1）n/n｝的极限 37

三、数列极限概念 40

四、例 43

练习题2.1 47

2.2 收敛数列 48

一、收敛数列的性质 48

二、收敛数列的四则运算 51

三、数列的收敛判别法 56

四、子数列 64

练习题2.2 66

2.3 函数极限 69

一、当χ→∞时，函数f（χ）的极限 69

二、例（Ⅰ） 71

三、当χ→α时，函数f（χ）的极限 73

四、例（Ⅱ） 78

练习题2.3 81

2.4 函数极限的定理 82

一、函数极限的性质 82

二、函数极限与数列极限的关系 85

三、函数极限存在判别法 88

四、例 93

练习题2.4 95

2.5 无穷小与无穷大 97

一、无穷小 97

二、无穷大 98

三、无穷小的比较 102

练习题2.5 105

第三章 连续函数 107

3.1 连续函数 107

一、连续函数概念 107

二、例 109

三、间断点及其分类 111

练习题3.1 113

3.2 连续函数的性质 115

一、连续函数的局部性质 115

二、闭区间连续函数的整体性质 116

三、反函数的连续性 120

四、初等函数的连续性 121

练习题3.2 125

第四章 实数的连续性 128

4.1 实数连续性定理 128

一、闭区间套定理 128

二、确界定理 130

三、有限覆盖定理 134

四、聚点定理 136

五、致密性定理 137

六、柯西收敛准则 138

练习题4.1 140

4.2 闭区间连续函数整体性质的证明 141

一、性质的证明 141

二、一致连续性 144

练习题4.2 147

第五章 导数与微分 150

5.1 导数 150

一、实例 150

二、导数概念 153

三、例 155

练习题5.1 161

5.2 求导法则与导数公式 163

一、导数的四则运算 163

二、反函数求导法则 168

三、复合函数求导法则 170

四、初等函数的导数 175

练习题5.2 179

5.3 隐函数与参数方程求导法则 181

一、隐函数求导法则 181

二、参数方程求导法则 186

练习题5.3 187

5.4 微分 189

一、微分概念 189

二、微分的运算法则和公式 193

三、微分在近似计算上的应用 194

练习题5.4 196

5.5 高阶导数与高阶微分 197

一、高阶导数 197

二、莱布尼茨公式 200

三、高阶微分 204

练习题5.5 205

第六章 微分学基本定理及其应用 207

6.1 中值定理 207

一、罗尔定理 207

二、拉格朗日定理 210

三、柯西定理 212

四、例 213

练习题6.1 216

6.2 洛必达法则 218

一、0/0型 218

二、∞/∞型 223

三、其他待定型 225

练习题6.2 229

6.3 泰勒公式 230

一、泰勒公式 230

二、常用的几个展开式 236

练习题6.3 238

6.4 导数在研究函数上的应用 240

一、函数的单调性 240

二、函数的极值与最值 245

三、函数的凸凹性 256

四、曲线的渐近线 267

五、描绘函数图像 271

练习题6.4 276

第七章 不定积分 279

7.1 不定积分 279

一、原函数 279

二、不定积分 281

练习题7.1 286

7.2 分部积分法与换元积分法 286

一、分部积分法 287

二、换元积分法 291

练习题7.2 300

7.3 有理函数的不定积分 302

一、代数的预备知识 302

二、有理函数的不定积分 305

练习题7.3 310

7.4 简单无理函数与三角函数的不定积分 311

一、简单无理函数的不定积分 311

二、三角函数的不定积分 316

练习题7.4 321

第八章 定积分 323

8.1 定积分 323

一、实例 323

二、定积分概念 327

8.2 可积准则 330

一、小和与大和 330

二、可积准则 333

三、三类可积函数 336

练习题8.2 339

8.3 定积分的性质 341

一、定积分的性质 341

二、定积分中值定理 348

练习题8.3 350

8.4 定积分的计算 352

一、按照定义计算定积分 352

二、积分上限函数 354

三、微积分的基本公式 356

四、定积分的分部积分法 358

五、定积分的换元积分法 361

六、对数函数的积分定义 365

七、指数函数——对数函数的反函数 370

练习题8.4 372

8.5 定积分的应用 376

一、微元法 376

二、平面区域的面积 378

三、平面曲线的弧长 384

四、应用截面面积求体积 390

五、旋转体的侧面积 395

六、变力作功 397

练习题8.5 399

8.6 定积分的近似计算 401

一、梯形法 402

二、抛物线法 406

练习题8.6 409

附录 希腊字母表 410

练习题答案 412