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第一章 函数　极限 连续 1

第一节　函数 1

一、引例 1

二、函数 2

三、函数的表示法 2

四、函数的几种特性 4

五、初等函数 5

六、建立函数关系 7

七、多元函数 8

思考题1-1 12

习题1-1 13

第二节　极限 13

一、引例 13

二、数列的极限 14

三、x→∞时函数的极限 15

四、x→x0时函数的极限 16

五、极限的等价定义 17

六、极限的性质 19

思考题1-2 19

习题1-2 19

第三节　极限的四则运算法则 20

一、极限的四则运算法则 20

二、求极限举例 20

思考题1-3 22

习题1-3 22

第四节　函数的连续性 23

一、函数的连续性 23

二、初等函数的连续性 24

三、函数的间断点 25

四、闭区间上连续函数的性质 26

五、多元函数的极限和连续 27

思考题1-4 28

习题1-4 28

第五节　两个重要极限 28

一、第一个重要极限lim x→0 sin x/x=1 29

二、第二个重要极限lim x→∞(1+1/x)x=e 30

思考题1-5 33

习题1-5 33

第二章　微分学及其应用 34

第一节　导数的概念 34

一、引例 34

二、导数的定义 35

三、导数的几何意义 38

四、可导与连续的关系 38

思考题2-1 39

习题2-1 39

第二节　导数的四则运算 39

思考题2－2 41

习题2-2 42

第三节　微分 42

一、引例 42

二、微分的定义 42

三、反函数的导数 43

四、微分公式及微分法则 45

五、微分的几何意义 45

思考题2-3 46

习题2-3 46

第四节　利用微分求导数 46

一、复合函数的导数 47

二、由参数方程确定的函数的导数 48

三、隐函数的导数 49

思考题2-4 50

习题2-4 50

第五节　高阶导数 51

思考题2-5 53

习题2－5 53

第六节　函数的单调性与曲线的凹凸 53

一、中值定理 53

二、函数的单调性 56

三、函数的极值和最值 57

四、曲线的凹凸与拐点 59

思考题2-6 61

习题2-6 61

第七节　洛必达法则 61

思考题2-7 64

习题2-7 64

第八节　二元函数微分学 65

一、偏导数及其几何意义 65

二、全微分及其几何意义 67

三、二元复合函数与隐函数的微分法 69

思考题2-8 71

习题2-8 71

第九节　二元函数微分法的应用 72

一、二元函数的极值 72

二、条件极值 73

三、方向导数与梯度 74

思考题2-9 76

习题2-9 76

第三章　积分学及其应用 77

第一节　定积分概念与性质 77

一、定积分问题举例 77

二、定积分的定义 80

三、定积分的几何意义 82

四、定积分的性质 82

思考题3-1 85

习题3-1 86

第二节　原函数与不定积分 87

一、原函数 87

二、不定积分 88

三、基本积分公式 88

四、不定积分的性质 89

五、直接积分法 90

思考题3-2 90

习题3-2 91

第三节　微积分基本公式 92

一、积分上限函数及其导数 92

二、微积分基本公式 94

三、定积分的直接积分法 95

思考题3-3 96

习题3-3 96

第四节　换元积分法 97

一、不定积分换元法 97

二、定积分换元法 102

思考题3-4 104

习题3-4 104

第五节　分部积分法 105

一、不定积分的分部积分法 105

二、定积分的分部积分法 106

思考题3-5 108

习题3-5 108

第六节　定积分的近似计算 108

一、矩形法 108

二、梯形法 109

思考题3-6 110

习题3-6 110

第七节　定积分的应用 110

一、在几何上的应用 110

二、在物理上的应用 115

三、函数的平均值 117

思考题3-7 117

习题3-7 117

第八节 无穷区间上的反常积分 118

思考题3-8 120

习题3-8 120

第九节 二重积分 120

一、引例 120

二、二重积分的定义及性质 121

三、二重积分的计算 123

四、二重积分的简单应用 128

思考题3-9 130

习题3-9 131

第四章 微分方程 132

第一节 微分方程的基本概念 132

一 、实例 132

二、微分方程的基本概念 134

思考题4-1 136

习题4-1 136

第二节 一阶微分方程 137

一、可分离变量的微分方程 137

二、齐次型微分方程 139

三、一阶线性微分方程 141

思考题4-2 144

习题4-2 144

第三节 一阶微分方程的应用举例 144

习题4-3 149

第四节 二阶线性微分方程及其解的结构 149

一、实例 149

二、二阶线性微分方程解的结构 152

思考题4-4 154

习题4-4 154

第五节　二阶常系数线性微分方程 155

一、二阶常系数线性齐次微分方程的解法 155

二、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 159

思考题4-5 163

习题4-5 163

第六节　二阶微分方程的应用举例 164

习题4-6 167

第七节　微分方程的数值解 167

一、欧拉折线法 168

二、改进的欧拉折线法 169

三、龙格-库塔法 170

习题4-7 171

第五章　逼近与级数 172

第一节　泰勒多项式 172

一、线性逼近 172

二、二次逼近 173

三、高次逼近 173

四、泰勒公式 175

思考题5-1 177

习题5-1 177

第二节　数项级数 178

一、数项级数的基本概念 178

二、数项级数的基本性质 181

思考题5-2 182

习题5-2 182

第三节　数项级数的审敛法 184

一、正项级数及其审敛法 184

二、交错级数及其审敛法 187

三、绝对收敛与条件收敛 188

思考题5-3 190

习题5-3 190

第四节　函数项级数 191

一、函数项级数的概念 191

二、幂级数及其收敛性 192

三、幂级数的运算性质 194

思考题5-4 195

习题5-4 196

第五节　函数展开成幂级数的方法 196

一、直接展开法 197

二、间接展开法 198

思考题5-5 203

习题5-5 204

第六节　傅里叶级数 204

一、傅里叶级数 204

二、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数 207

三、正弦级数与余弦级数 209

四、以T为周期的函数的傅里叶级数 212

思考题5-6 213

习题5-6 213

第六章　Mathematica简介 214

第一节　Mathematica系统使用入门 214

一、算术运算 214

二、变量与函数 215

三、赋值与代入 216

四、绘图初步 217

五、帮助语句 220

第二节　Mathematica系统中的基本运算 220

一、极限运算 220

二、导数的运算 221

三、积分运算 225

四、级数运算 226

五、求解微分方程 226

习题答案 229

参考书目 241