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第十一章 多元函数微分法及其应用 1

11.1多元函数的概念 1

一、邻域和区域的概念 1

二、多元函数的概念 2

三、二元函数的图形 5

习题11-1 6

11.2二元函数的极限与连续 6

一、二元函数的极限 6

二、二元函数的连续性 9

习题11-2 10

11.3偏导数 11

一、偏导数的概念 11

二、偏导数的求法 13

三、二元函数偏导数的几何意义 15

四、高阶偏导数 16

习题11-3 17

11.4全微分 18

一、全微分的概念 18

二、全微分在近似计算中的应用 22

习题11-4 23

11.5多元复合函数的导数 24

一、多元复合函数的求导法则 24

二、多元复合函数的高阶偏导数 29

习题11-5 32

11.6隐函数的求导公式 34

一、由方程F（x，y）=0所确定的隐函数y=f（x）的求导公式 34

二、由方程F（x，y，z）=0所确定的隐函数z=f（x，y）的求导公式 34

习题11-6 37

11.7方向导数与梯度 37

一、方向导数 37

二、梯度 39

习题11-7 41

11.8微分法在几何上的应用 41

一、空间曲线的切线与法平面及其方程 41

二、空间曲面的切平面与法线及其方程 43

习题11-8 46

11.9多元函数的极值 47

一、多元函数的极值与最值 47

二、条件极值 拉格朗日乘数法 51

习题11-9 54

学习指导 55

复习思考题（十一） 61

第十二章 重积分 64

12.1二重积分的概念与性质 64

一、二重积分的概念 64

二、二重积分的性质 67

习题12-1 70

12.2二重积分在直角坐标系中的计算法 70

习题12-2 78

12.3二重积分在极坐标系中的计算法 79

习题12-3 85

12.4二重积分的应用 85

一、曲面的面积 86

二、平面薄片的质心 89

三、平面薄片的转动惯量 91

习题12-4 93

12.5三重积分的概念及其在直角坐标系中的计算法 94

一、三重积分的概念 94

二、三重积分在直角坐标系中的计算法 95

习题12-5 101

12.6利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 101

一、利用柱面坐标计算三重积分 101

二、利用球面坐标计算三重积分 104

习题12-6 107

12.7三重积分的应用举例 108

习题12-7 112

学习指导 113

复习思考题（十二） 122

第十三章 曲线积分与曲面积分 127

13.1对弧长的曲线积分 127

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 127

二、对弧长的曲线积分的计算法 129

习题13-1 134

13.2对坐标的曲线积分 134

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 135

二、对坐标的曲线积分的计算法 138

三、两类曲线积分之间的关系 143

习题13-2 144

13.3格林公式 145

习题13-3 150

13.4平面上曲线积分与路径无关的问题 151

一、平面上曲线积分与路径无关的条件 152

二、二元函数的全微分求积 156

习题13-4 159

13.5对面积的曲面积分 160

一、对面积的曲面积分的概念与性质 160

二、对面积的曲面积分的计算法 162

习题13-5 166

13.6对坐标的曲面积分 167

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 167

二、对坐标的曲面积分的计算法 171

三、两类曲面积分之间的关系 175

习题13-6 176

13.7高斯公式 176

习题13-7 179

学习指导 180

复习思考题（十三） 189

第十四章 常数项级数与幂级数 195

14.1常数项级数的概念和性质 195

一、常数项级数及其收敛与发散的概念 195

二、级数收敛的必要条件 198

三、级数的基本性质 198

习题14-1 201

14.2正项级数的审敛法 202

一、正项级数及其收敛的充要条件 202

二、比较审敛法及其极限形式 203

三、比值审敛法（达朗贝尔判别法） 205

四、根值审敛法（柯西判别法） 207

习题14-2 207

14.3任意项级数的审敛法 208

一、交错级数及其审敛法 207

二、任意项级数的收敛性——绝对收敛与条件收敛 210

习题14-3 212

14.4函数项级数的概念与幂级数 213

一、函数项级数的概念 213

二、幂级数及其收敛性 214

三、幂级数的运算 218

习题14-4 221

14.5把函数展开成幂级数 222

一、泰勒级数 222

二、把函数展开成幂级数 223

习题14-5 228

14.6函数的幂级数展开式的应用 229

一、近似计算 229

二、欧拉公式 232

习题14-6 233

学习指导 233

复习思考题（十四） 244

第十五章 傅立叶级数 249

15.1周期为2π的函数的傅立叶级数 249

一、三角级数及三角函数系的正交性 249

二、周期为2π的函数的傅立叶级数及其收敛性 250

三、把周期为2π的函数展开为傅立叶级数 252

四、把定义在［-π，π］上的函数展开为傅立叶级数 255

习题15-1 258

15.2正弦级数和余弦级数 258

一、正弦级数和余弦级数 258

二、把定义在［0.π］上的函数展开为正弦（或余弦）级数 261

习题15-2 263

15.3周期为2l的周期函数的傅立叶级数 264

习题15-3 268

学习指导 268

复习思考题（十五） 277

第十六章 微分方程 280

16.1微分方程的基本概念 280

一、引例 280

二、微分方程的基本概念 281

习题16-1 283

16.2变量可分离的微分方程及齐次方程 284

一、变量可分离的微分方程 284

二、齐次方程 286

习题16-2 289

16.3一阶线性微分方程 290

习题16-3 295

16.4一阶微分方程的应用举例 296

习题16-4 302

16.5可降阶的高阶微分方程 302

一、y（n）=f（x）型的微分方程 303

二、y″=f（x，y′）型的微分方程 303

三、y″=f（y，y′）型的微分方程 305

习题16-5 306

16.6二阶线性微分方程解的性质与通解结构 307

一、二阶线性齐次微分方程解的性质与通解结构 307

二、二阶线性非齐次微分方程解的性质与通解结构 309

习题16-6 310

16.7二阶常系数线性齐次微分方程 311

习题16-7 315

16.8二阶常系数线性非齐次微分方程 315

一、f（x）=Pm（x）eλx型 316

二、f（x）=eλx（Acosωx+Bsinωx）型 319

习题16-8 320

16.9高阶微分方程的应用举例 321

习题16-9 327

学习指导 328

复习思考题（十六） 335