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第5章 多元函数微分学 1

5.1 多元函数的极限与连续性 1

5.1.1 点集基本知识 1

5.1.2 多元函数的概念 2

5.1.3 多元函数的极限 4

5.1.4 多元函数的连续性 7

习题5.1 9

5.2 偏导数与全微分 10

5.2.1 偏导数 10

5.2.2 高阶偏导数 13

5.2.3 全微分 15

5.2.4 高阶微分 21

习题5.2 23

5.3 复合函数与隐函数的偏导数 25

5.3.1 复合函数的偏导数 25

5.3.2 隐函数的偏导数 29

习题5.3 33

5.4 二元函数的泰勒公式 36

习题5.4 39

5.5 多元向量函数 39

习题5.5 41

5.6 偏导数在几何上的应用 41

5.6.1 空间曲线的切线与法平面 41

5.6.2 空间曲面的切平面与法线 43

习题5.6 46

5.7 极值与条件极值 47

5.7.1 二元函数的极值 47

5.7.2 最大值与最小值 51

5.7.3 条件极值 53

习题5.7 57

5.8 方向导数 58

习题5.8 61

第6章 重积分 62

6.1 二重积分的概念与性质 62

6.1.1 二重积分的概念 62

6.1.2 二重积分的性质 65

习题6.1 66

6.2 二重积分的计算 66

6.2.1 累次积分法 66

6.2.2 换元积分法 71

习题6.2 79

6.3 三重积分 82

6.3.1 三重积分的概念与性质 82

6.3.2 累次积分法 83

6.3.3 换元积分法 89

习题6.3 94

6.4 重积分的应用 96

6.4.1 重积分在几何上的应用 96

6.4.2 重积分在物理上的应用 100

习题6.4 105

6.5 广义重积分简介 106

习题6.5 108

第7章 曲线积分·曲面积分与场论 109

7.1 第一类曲线积分 109

7.1.1 第一类曲线积分的概念与性质 109

7.1.2 第一类曲线积分的计算 111

习题7.1 114

7.2 第二类曲线积分 115

7.2.1 第二类曲线积分的概念与性质 115

7.2.2 第二类曲线积分的计算 117

7.2.3 两类曲线积分之间的联系 122

习题7.2 123

7.3 格林公式及其应用 124

7.3.1 格林（Green）公式 124

7.3.2 平面上第二类曲线积分与路径无关的条件 129

习题7.3 135

7.4 第一类曲面积分 138

7.4.1 第一类曲面积分的概念与性质 138

7.4.2 第一类曲面积分的计算 140

习题7.4 144

7.5 第二类曲面积分 144

7.5.1 第二类曲面积分的概念与性质 144

7.5.2 第二类曲面积分的计算 149

习题7.5 155

7.6 高斯公式与斯托克斯公式 156

7.6.1 高斯（Gauss）公式 156

7.6.2 斯托克斯（Stokes）公式 160

习题76 163

7.7 场论初步 166

7.7.1 场的概念 166

7.7.2 数量场·等值面·梯度 167

7.7.3 向量场的流量与散度 169

7.7.4 向量场的环流量与旋度 170

7.7.5 有势场 172

习题7.7 173

第8章 无穷级数 174

8.1 常数项级数 174

8.1.1 常数项级数的概念 174

8.1.2 收敛级数的基本性质 176

习题8.1 180

8.2 正项级数 181

习题8.2 187

8.3 任意项级数 188

8.3.1 交错级数 189

8.3.2 绝对收敛与条件收敛 190

习题8.3 197

8.4 函数项级数 198

8.4.1 函数项级数的收敛与一致收敛 198

8.4.2 一致收敛级数的性质 203

习题8.4 206

8.5 幂级数 206

8.5.1 幂级数的收敛半径 206

8.5.2 幂级数的性质 211

习题8.5 214

8.6 泰勒级数 215

习题8.6 222

8.7 广义积分的敛散性 223

8.7.1 无穷限广义积分敛散性判别法 223

8.7.2 无界函数广义积分的敛散性判别法 227

8.7.3 Γ函数与B函数 229

习题8.7 233

第9章 傅里叶级数 235

9.1 三角级数·三角函数系的正交性 235

习题9.1 237

9.2 函数展开成傅里叶级数 238

习题9.2 242

9.3 任意周期的周期函数的傅里叶级数 243

习题9.3 245

第10章 常微分方程初步 246

10.1 微分方程的基本概念 246

10.2 一阶微分方程的初等解法 248

10.2.1 变量分离方程 248

10.2.2 可化为变量分离方程的类型 250

习题10.2 253

10.3 一阶线性微分方程 254

习题10.3 257

10.4 全微分方程与积分因子 258

10.4.1 全微分方程 258

10.4.2 积分因子 259

习题10.4 261

10.5 解的存在唯一性定理 262

10.6 高阶微分方程 266

10.6.1 可降阶的高阶微分方程 266

10.6.2 二阶线性微分方程 270

10.6.3 二阶线性常系数微分方程 278

10.6.4 欧拉方程 284

习题10.6 285

10.7 微分方程应用举例 286

习题10.7 287

参考文献 289

附录 部分习题参考答案 290