复变函数与积分变换PDF电子书下载

1复数与复变函数 1

1.1复数及其运算 1

1.1.1复数的概念 1

1.1.2复平面 1

1.1.3复数的四则运算 4

1.1.4复数的乘幂与开方 7

1.1.5复球面与无穷远点 9

1.2平面点集的一般概念 9

1.2.1区域 9

1.2.2平面曲线 10

1.3复变函数 12

1.3.1复变函数的概念 12

1.3.2复变函数的极限与连续 14

1.3.3复变函数的导数与微分 16

习题一 18

2解析函数 21

2.1解析函数的概念与柯西-黎曼方程 21

2.1.1解析函数的概念 21

2.1.2柯西-黎曼方程 22

2.2初等函数及其解析性 26

2.2.1指数函数 26

2.2.2对数函数 27

2.2.3幂函数 28

2.2.4三角函数和反三角函数 29

2.2.5双曲函数与反双曲函数 31

2.3解析函数与调和函数的关系 32

习题二 36

3复变函数的积分 38

3.1复变函数积分的概念 38

3.1.1复变函数积分的定义 38

3.1.2复变函数积分的存在条件 39

3.1.3复变函数积分的基本性质 39

3.1.4复变函数积分的计算 40

3.2柯西积分定理 42

3.2.1柯西积分定理 42

3.2.2变上限积分与原函数 44

3.3复合闭路定理 46

3.4柯西积分公式 47

3.4.1柯西积分公式 48

3.4.2高阶求导公式 49

习题三 52

阶段复习题一 54

4解析函数的幂级数表示 57

4.1复级数的基本概念 57

4.1.1复数列的极限 57

4.1.2复数项级数 57

4.1.3复变函数项级数 59

4.2幂级数 60

4.2.1幂级数的收敛性 60

4.2.2幂级数的运算和性质 63

4.3解析函数的泰勒展开 64

4.3.1泰勒（Taylor）定理 64

4.3.2解析函数的泰勒展开法 66

4.4洛朗级数 69

4.4.1洛朗级数的概念 70

4.4.2解析函数的洛朗展开 71

习题四 76

5留数及其应用 78

5.1孤立奇点 78

5.1.1孤立奇点的三种类型 78

5.1.2函数的极点和零点的关系 81

5.1.3函数在无穷远点的性质 84

5.2留数 85

5.2.1留数的定义 85

5.2.2极点处留数的计算 86

5.2.3留数定理 88

5.2.4函数在无穷远点的留数 91

5.3利用留数计算实积分 94

5.3.1形如∫2πR（cosθ,sinθ）dθ的积分 94

5.3.2形∫+∞-∞R（x）dx的积分 96

5.3.3形∫+∞-∞R（x）eiαxdx（α＞0）的积分 98

5.4辐角原理及其应用 101

5.4.1对数留数 101

5.4.2辐角原理 102

5.4.3儒歇（Rouche）定理 103

习题五 105

6共形映射 107

6.1共形映射的概念 107

6.1.1解析函数的导数的几何意义 107

6.1.2共形映射的定义 109

6.2分式线性映射 110

6.2.1分式线性映射及其分解 110

6.2.2分式线性映射的几何性质 112

6.2.3分式线性映射的确定 114

6.3几种常见的分式线性映射 117

6.3.1把上半平面映射成上半平面的分式线性映射 117

6.3.2把上半平面映射成单位圆内部的分式线性映射 117

6.3.3把单位圆内部映射成单位圆内部的分式线性映射 120

6.4几个初等函数构成的映射 121

6.4.1幂函数与根式函数 121

6.4.2指数函数和对数函数 125

习题六 127

阶段复习题二 128

7Fourier变换 131

7.1 Fourier积分公式 131

7.2 Fourier变换 135

7.2.1 Fourier变换的概念 135

7.2.2 Fourier变换的物理定义——非周期函数的频谱 138

7.3 δ函数及其Fourier变换 141

7.3.1 δ函数的定义和性质 142

7.3.2 δ函数的Fourier变换 143

7.4 Fourier变换的性质 145

7.4.1线性性质 145

7.4.2位移性质 146

7.4.3微分性质 147

7.4.4像函数的微分性质 148

7.4.5积分性质 149

7.4.6对称性质 150

7.4.7相似性质 150

7.4.8能量积分 151

7.4.9乘积定理 151

7.5 Fourier变换的卷积性质 152

习题七 156

8 Laplace变换 158

8.1 Laplace变换的概念 158

8.1.1 Laplace变换的定义 158

8.1.2 Laplace变换存在的条件 160

8.1.3周期函数的Laplace变换 163

8.2 Laplace变换的性质 164

8.2.1线性性质 164

8.2.2相似性质 164

8.2.3微分性质 165

8.2.4积分性质 166

8.2.5位移性质 169

8.2.6延迟性质 169

8.2.7初值定理 170

8.2.8终值定理 171

8.3 Laplace逆变换 172

8.3.1反演积分公式 172

8.3.2 Laplace逆变换的计算 173

8.4卷积 175

8.4.1卷积的定义 175

8.4.2卷积定理 176

8.5 Laplace变换的应用 177

8.5.1求解常系数的常微分方程 178

8.5.2求解常系数线性微分方程组 180

8.5.3解微分积分方程 182

习题八 184

阶段复习题三 187

模拟试卷（一） 190

模拟试卷（二） 192

习题参考答案 194

附录一Fourier变换简表 205

附录二Laplace变换简表 208

参考文献 213