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第十三章 重积分 1

13.1 二重积分概念 1

一、曲顶柱体的体积 1

二、非均匀薄片的质量 2

三、二重积分定义 3

四、二重积分的几何意义 4

五、二重积分的基本性质 5

习题13.1 6

13.2 二重积分在直角坐标系下的计算法 7

习题13.2 14

13.3 二重积分在极坐标系下的计算法 17

习题13.3 22

13.4 三重积分及其计算法 24

一、三重积分概念 24

二、三重积分在直角坐标系下的计算法 25

习题13.4 30

13.5 三重积分在柱坐标系及球坐标系下的计算法 31

一、三重积分在柱坐标系下的计算法 31

二、三重积分在球坐标系下的计算法 34

习题13.5 38

13.6 重积分的应用 39

一、曲面面积 39

二、重心 42

三、转动惯量 45

习题13.6 46

综合例题 48

综合习题 54

自我检查题 54

综合习题解答 55

自我检查题解答 57

第十四章 曲线积分与曲面积分 59

14.1 对弧长的曲线积分 59

一、问题的提出 59

二、对弧长的曲线积分定义 60

三、对弧长曲线积分的性质 61

四、对弧长曲线积分的计算法 61

五、对弧长曲线积分的应用 64

习题14.1 65

14.2 对坐标的曲线积分 66

一、有向曲线的概念 66

二、变力沿曲线所作的功 66

三、对坐标曲线积分的定义 67

四、对坐标曲线积分的性质 69

五、对坐标的曲线积分的计算法 69

六、两类曲线积分之间的联系 73

习题14.2 74

14.3 格林公式及其应用 76

一、格林公式 76

二、格林公式的简单应用 78

三、曲线积分与路径无关的条件 80

习题14.3 86

14.4 对面积的曲面积分 88

一、问题的提出 88

二、对面积的曲面积分定义 88

三、对面积曲面积分的计算法 89

习题14.4 92

14.5 对坐标的曲面积分 93

一、有向曲面的概念 93

二、流量问题 94

三、对坐标的曲面积分定义 96

四、对坐标曲面积分的计算 98

五、两类曲面积分之间的联系 101

习题14.5 102

14.6 方向导数与梯度 102

一、预备知识 102

二、方向导数 105

三、数量场的梯度 106

习题14.6 109

14.7 奥—高公式 通量与散度 109

一、奥—高公式 109

二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 111

三、通量与散度 113

习题14.7 117

14.8 斯托克斯公式 环流量与旋度 118

一、斯托克斯公式 118

二、空间曲线积分与路径无关的条件 120

三、环流量与旋度 122

习题14.8 125

综合例题 126

综合习题 134

自我检查题 135

综合习题解答 135

自我检查题解答 138

第十五章 微分方程 141

15.1 基本概念 141

一、几个实例 141

二、基本概念 143

习题15.1 146

15.2 可分离变量的一阶微分方程 147

习题15.2 153

15.3 齐次方程 154

一、齐次方程 154

二、可化为齐次方程的方程 156

习题15.3 158

15.4 一阶线性方程 159

一、一阶线性方程 159

二、可化为一阶线性方程的方程 163

习题15.4 164

15.5 全微分方程 165

一、全微分方程 165

二、积分因子 166

习题15.5 169

15.6 可降阶的高阶微分方程 170

一、y″=f（x）型的方程 170

二、y″=f（x,y′）型微分方程 172

三、y″=f（y,y′）型微分方程 174

习题15.6 176

15.7 齐次线性方程解的结构 n阶常系数齐次线性方程的解法 177

一、n阶齐次线性微分方程解的结构 177

二、n阶常系数齐次线性微分方程的解法 181

习题15.7 185

15.8 非齐次线性方程解的结构 二阶常系数非齐次线性方程的解法 186

一、n阶非齐次线性方程解的结构 186

二、二阶常系数非齐次线性方程的解法 188

三、常数变易法 196

习题15.8 198

15.9 线性方程的应用举例 199

习题15.9 204

15.10 欧拉方程 205

习题15.10 207

15.11 微分方程组 208

一、化微分方程组为高阶微分方程 208

二、首次积分法 210

习题15.11 212

综合例题 213

综合习题 220

自我检查题 221

综合习题解答 222

自我检查题解答 229

第十六章 无穷级数 236

16.1 数项级数的概念 236

一、数项级数的概念 236

二、级数的基本性质 240

习题16.1 245

16.2 正项级数的敛散性判定法 246

一、正项级数收敛的充要条件 246

二、比较判定法 247

三、比值法（达朗贝尔判定法） 251

四、根值法（柯西判定法） 253

五、柯西积分判定法 254

习题16.2 255

16.3 任意项级数 绝对收敛 256

一、交错级数敛散性判定法 256

二、绝对收敛与条件收敛 258

习题16.3 264

16.4 广义积分的敛散性 Γ函数 265

一、积分区间为无穷区间的广义积分（无穷限广义积分）敛散性判别法 265

二、无界函数的广义积分敛散性 269

三、Γ—函数 271

习题16.4 274

16.5 函数项级数 275

一、函数项级数的一般概念 275

二、函数项级数的一致收敛性 277

三、一致收敛级数的基本性质 281

习题16.5 284

16.6 幂级数 285

一、幂级数的收敛半径 285

二、幂级数运算 290

习题16.6 292

16.7 函数的幂级数展式 293

一、泰勒级数 293

二、函数展开成幂级数的方法 296

习题16.7 303

16.8 函数幂级数展开式的应用 304

一、近似计算 304

二、欧拉公式 307

三、微分方程的幂级数解法举例 309

习题16.8 312

综合例题 313

综合习题 321

自我检查题 321

综合习题解答 322

自我检查题解答 325

第十七章 富里哀级数 332

17.1 函数在区间［-π,π］上的富里哀级数 332

一、三角级数、三角函数系的正交性 332

二、富里哀系数公式、富里哀级数 333

习题17.1 339

17.2 正弦级数与余弦级数 339

一、奇函数与偶函数的富里哀级数 339

二、正弦级数与余弦级数 341

习题17.2 344

17.3 任意区间上的富里哀级数 345

习题17.3 349

综合例题 349

综合习题 354

自我检查题 354

综合习题解答 355

自我检查题解答 358

习题答案 361