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第1章 函数、极限与连续 1

1.1 初等函数 1

1.1.1 函数的概念 1

1.1.2 基本初等函数 4

1.1.3 复合函数、初等函数 6

1.1.4 双曲函数 8

1.1.5 建立函数关系举例 8

习题1.1 9

1.2 极限 10

1.2.1 数列的极限 10

1.2.2 函数的极限 11

习题1.2 13

1.3 无穷小与无穷大 13

1.3.1 无穷小 13

1.3.2 无穷大 16

1.3.3 无穷大与无穷小的关系 16

习题1.3 17

1.4 极限的运算 17

1.4.1 极限的四则运算法则 17

1.4.2 两个重要极限 19

习题1.4 21

1.5 函数的连续性与间断点 22

1.5.1 函数连续性的概念 22

1.5.2 初等函数的连续性 23

1.5.3 函数的间断点 24

1.5.4 闭区间上连续函数的性质 26

习题1.5 27

数学史话——极限思想的产生和发展 27

第2章 导数和微分 30

2.1 导数的概念 30

2.1.1 导数的定义 30

2.1.2 可导与连续的关系 33

2.1.3 导数的实际意义 34

习题2.1 35

2.2 导数的运算 36

2.2.1 函数四则运算的求导法则 36

2.2.2 复合函数和反函数的求导法则 38

2.2.3 隐函数和由参数方程所确定函数的求导法则 40

习题2.2 43

2.3 高阶导数 43

2.3.1 高阶导数的概念 43

2.3.2 二阶导数的力学意义 44

习题2.3 45

2.4 微分的概念 45

2.4.1 微分的定义 45

2.4.2 微分的基本公式与运算法则 47

2.4.3 微分在近似计算中的应用举例 48

2.4.4 弧微分 50

习题2.4 51

数学史话——微积分学的产生和发展 52

第3章 导数的应用 55

3.1 微分中值定理 55

3.1.1 罗尔定理 55

3.1.2 拉格朗日中值定理 56

习题3.1 57

3.2 洛必达法则 57

3.2.1 0/0型未定式 58

3.2.2 ∞/∞型未定式 59

习题3.2 60

3.3 函数的单调性与极值 60

3.3.1 函数单调性的判定 60

3.3.2 函数的极值与最值 62

习题3.3 67

3.4 曲线的凹凸性和拐点 67

3.4.1 曲线的凹凸性 67

3.4.2 曲线的拐点 69

习题3.4 70

3.5 函数图像的描绘 70

3.5.1 曲线的渐近线 70

3.5.2 描绘简单函数的图像 71

习题3.5 72

3.6 曲线的曲率 73

3.6.1 曲率的概念 73

3.6.2 曲率的计算公式 74

3.6.3 曲率圆和曲率半径 76

习题3.6 77

第4章 不定积分 78

4.1 原函数与不定积分 78

4.1.1 原函数 78

4.1.2 不定积分 80

4.1.3 不定积分的几何意义 80

习题4.1 81

4.2 不定积分的基本公式和运算法则直接积分法 82

4.2.1 不定积分的基本公式 82

4.2.2 不定积分的运算法则 83

4.2.3 直接积分法 84

习题4.2 85

4.3 换元积分法 85

4.3.1 第一类换元积分法 85

4.3.2 第二类换元积分法 91

习题4.3 94

4.4 分部积分法 95

习题4.4 98

第5章 定积分及其应用 99

5.1 定积分的概念及性质 99

5.1.1 两个实例 99

5.1.2 定积分的定义 101

5.1.3 定积分的几何意义 102

5.1.4 定积分的性质 105

习题5.1 107

5.2 微积分基本定理 108

5.2.1 积分上限函数 109

5.2.2 微积分基本定理 110

习题5.2 112

5.3 定积分的换元法与分部积分法 112

5.3.1 定积分的换元法 112

5.3.2 定积分的分部积分法 115

习题5.3 116

5.4 定积分的近似计算 116

5.4.1 矩形法 116

5.4.2 梯形法 117

5.4.3 抛物线法 118

习题5.4 119

5.5 定积分在几何中的应用 119

5.5.1 定积分的微元法 119

5.5.2 平面图形的面积 120

5.5.3 体积 122

习题5.5 124

5.6 定积分在物理中的应用 125

5.6.1 变力沿直线所做的功 125

5.6.2 液体的静压力 126

5.6.3 函数的平均值 127

习题5.6 129

5.7 广义积分 130

5.7.1 无穷区间上的广义积分 130

5.7.2 有无穷间断点函数的广义积分 131

习题5.7 133

第6章 向量与空间解析几何 134

6.1 空间直角坐标系与向量的概念 134

6.1.1 空间直角坐标系 134

6.1.2 向量的概念及其运算 135

6.1.3 向量的坐标表达式 137

习题6.1 139

6.2 两向量的点积与叉积 140

6.2.1 两向量的点积 140

6.2.2 两向量的叉积 142

习题6.2 143

6.3 平面与直线 143

6.3.1 平面方程 143

6.3.2 直线方程 145

习题6.3 147

6.4 曲面与空间曲线 147

6.4.1 曲面及其方程 148

6.4.2 空间曲线及其方程 151

6.4.3 二次曲面 152

习题6.4 154

数学史话——解析几何的产生和发展 155

第7章 多元函数微积分 157

7.1 多元函数的概念 157

7.1.1 多元函数的定义 157

7.1.2 二元函数的几何意义 159

习题7.1 159

7.2 偏导数 160

7.2.1 偏导数的概念 160

7.2.2 高阶偏导数 162

习题7.2 164

7.3 全微分 164

7.3.1 全微分的定义 164

7.3.2 全微分在近似计算中的应用举例 166

习题7.3 166

7.4 偏导数的应用 166

7.4.1 二元函数极值的概念 167

7.4.2 二元函数极值的判别法 167

7.4.3 条件极值 169

习题7.4 170

7.5 二重积分 170

7.5.1 二重积分的概念 170

7.5.2 二重积分的性质 173

7.5.3 二重积分的计算 174

7.5.4 二重积分的应用举例 178

习题7.5 180

第8章 数学实验 181

实验1 函数、极限与连续 181

实验1习题 194

实验2 导数与微分 195

实验2习题 197

实验3 导数的应用 197

实验3习题 199

实验4 不定积分与定积分 199

实验4习题 201

实验5 空间解析几何 201

实验5习题 205

实验6 多元函数微积分 205

实验6习题 208

参考答案 209