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第1章 函数与极限 1

1.1 函数 1

一、集合 1

二、函数 4

习题1-1 11

1.2 数列极限 13

一、数列极限的定义 13

二、收敛数列的性质 15

习题1-2 16

1.3 函数的极限 16

一、函数极限的概念 17

二、函数极限的性质 20

三、函数极限的运算法则 20

习题1-3 24

1.4 极限存在准则与两个重要极限 25

一、夹逼准则 25

二、单调有界准则 28

习题1-4 28

1.5 无穷小与无穷大 32

一、无穷小 32

二、无穷大 33

三、无穷小的比较 34

习题1-5 36

1.6 函数的连续性 37

一、函数的连续性 37

二、函数的间断点 39

三、初等函数的连续性 41

习题1-6 45

1.7 闭区间上连续函数的性质 46

习题1-7 49

第2章 导数与微分 50

2.1 导数的概念 50

一、引例 50

二、导数的定义 52

三、导数的几何意义和物理意义 54

四、函数可导性与连续性的关系 55

五、利用导数定义求导数 56

习题2-1 57

2.2 函数和、差、积、商的求导法则 58

习题2-2 60

2.3 反函数的导数与复合函数的导数 60

一、反函数的导数 60

二、复合函数的求导法则 62

三、基本初等函数的导数公式 64

习题2-3 64

2.4 隐函数及由参数方程确定的函数的导数相关变化率 65

一、隐函数的导数 65

二、由参数方程所确定的函数的导数 68

三、相关变化率 70

习题2-4 71

2.5 高阶导数 71

习题2-5 74

2.6 函数的微分及其应用 75

一、微分的定义和几何意义 75

二、微分运算法则 77

三、微分在近似计算中的应用 79

习题2-6 81

第3章 微分中值定理与导数的应用 82

3.1 微分中值定理 82

习题3-1 88

3.2 洛必达法则 88

一、0/0型 89

二、∞/∞型 91

三、∞-∞型 92

四、0·∞型 92

五、00,∞0,1∞型 93

习题3-2 94

3.3 泰勒公式 95

习题3-3 98

3.4 函数单调性的判断、函数的极值 99

一、函数增减性的判定 99

二、函数的极值 102

习题3-4 107

3.5 函数的最大值、最小值及其应用 108

习题3-5 112

3.6 函数的凹凸性与拐点 113

习题3-6 117

3.7 函数图形的描绘 117

习题3-7 120

3.8 曲率 120

习题3-8 124

第4章 不定积分 126

4.1 不定积分的概念与性质 126

一、原函数与不定积分 126

二、基本积分表 128

三、不定积分的性质 129

习题4-1 131

4.2 换元积分法 132

一、第一类换元法（凑微分法） 132

二、第二类换元法 136

习题4-2 141

4.3 分部积分法 142

习题4-3 146

4.4 几种特殊函数的积分 146

一、有理函数的积分 146

二、三角函数有理式的积分 150

三、简单无理函数的积分 151

习题4-4 152

第5章 定积分及其应用 153

5.1 定积分的概念与性质 153

一、引例 153

二、定积分的定义 155

三、定积分的性质 157

习题5-1 160

5.2 微积分基本公式 160

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 161

二、积分上限的函数及其导数 161

三、微积分基本公式 163

习题5-2 165

5.3 定积分的换元法与分部积分法 166

一、定积分的换元法 166

二、定积分的分部积分法 169

习题5-3 171

5.4 广义积分 172

一、无限区间上的广义积分 172

二、无界函数的广义积分 174

习题5-4 176

5.5 定积分的应用举例 177

一、微元法 177

二、平面图形的面积 179

三、体积 181

四、平面曲线的弧长 183

五、物理应用举例 184

习题5-5 185

第6章 微分方程 186

6.1 微分方程的基本概念 186

习题6-1 189

6.2 可分离变量的微分方程 190

习题6-2 192

6.3 齐次方程 192

习题6-3 195

6.4 一阶线性微分方程 196

一、一阶线性齐次微分方程的解法 196

二、一阶线性非齐次微分方程的解法（常数变易法） 197

习题6-4 199

6.5 可降阶的高阶微分方程 200

一、y(n)=f(x)型的微分方程 200

二、y″=f(x,y′)型的微分方程 200

三、y″=f(y,y′)型的微分方程 201

习题6-5 202

6.6 二阶常系数齐次线性微分方程 203

习题6-6 206

6.7 二阶常系数非齐次线性微分方程 207

习题6-7 211

参考答案 213