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7 向量代数与空间解析几何 1

7.1 向量及其线性运算 1

7.1.1 空间直角坐标系 1

7.1.2 空间两点间的距离 2

7.1.3 向量的概念 3

7.1.4 向量的线性运算 4

7.1.5 向量在轴上的投影 8

7.1.6 向量的分解与向量的坐标 9

7.1.7 向量的模和方向余弦 11

习题7.1 13

7.2 向量的数量积、向量积与混合积 14

7.2.1 向量的数量积 14

7.2.2 向量的向量积 18

7.2.3 向量的混合积 21

习题7.2 23

7.3 空间平面及其方程 24

7.3.1 曲面方程的概念 24

7.3.2 平面的方程 26

7.3.3 两平面之间的位置关系 29

7.3.4 点到平面的距离 31

习题7.3 31

7.4 空间直线及其方程 32

7.4.1 空间直线的方程 33

7.4.2 两直线之间的位置关系 36

7.4.3 直线与平面之间的位置关系 36

7.4.4 点到直线之间的距离 38

7.4.5 平面束 39

习题7.4 41

7.5 常见的曲面及其方程 42

7.5.1 旋转曲面 42

7.5.2 柱面 45

7.5.3 椭球面 47

7.5.4 单叶双曲面 48

7.5.5 双叶双曲面 49

7.5.6 椭圆抛物面 50

7.5.7 双曲抛物面（马鞍面） 51

习题7.5 52

7.6 空间曲线及其方程 53

7.6.1 空间曲线的一般方程 53

7.6.2 空间曲线的参数方程 54

7.6.3 空间曲线在坐标面上的投影 55

习题7.6 57

总复习题7 57

8 多元函数微分法及其应用 59

8.1 多元函数 59

8.1.1 平面点集与n维空间 59

8.1.2 多元函数的概念 62

8.1.3 二元函数的极限 64

8.1.4 二元函数的连续性 67

8.1.5 闭区域上多元连续函数的性质 68

习题8.1 68

8.2 偏导数 69

8.2.1 偏导数的定义 70

8.2.2 偏导数的几何意义 73

8.2.3 高阶偏导数 73

习题8.2 75

8.3 全微分 76

8.3.1 全微分的概念 76

8.3.2 全微分在近似计算中的应用 80

习题8.3 81

8.4 多元复合函数的微分法 82

8.4.1 多元复合函数的求导法则 82

8.4.2 一阶全微分形式不变性 86

8.4.3 多元复合函数的高阶偏导数 87

习题8.4 88

8.5 隐函数的微分法 89

8.5.1 一个方程的情形 89

8.5.2 方程组的情形 94

习题8.5 95

8.6 方向导数与梯度 96

8.6.1 方向导数 96

8.6.2 梯度 99

习题8.6 100

8.7 多元函数微分法在几何上的应用 101

8.7.1 空间曲线的切线与法平面 101

8.7.2 空间曲面的切平面与法线 104

习题8.7 107

8.8 二元函数的泰勒公式 108

习题8.8 110

8.9 多元函数的极值及其求法 110

8.9.1 多元函数的极值 111

8.9.2 条件极值 拉格朗日乘数法 115

8.9.3 多元函数的最大值与最小值 118

习题8.9 120

总复习题8 120

9 重积分 122

9.1 二重积分的概念与性质 122

9.1.1 两个实例 122

9.1.2 二重积分的定义 124

9.1.3 二重积分的性质 125

习题9.1 127

9.2 二重积分的计算 128

9.2.1 直角坐标系下计算二重积分 128

9.2.2 极坐标系下计算二重积分 137

习题9.2 142

9.3 三重积分 143

9.3.1 三重积分的概念 143

9.3.2 三重积分的计算 145

习题9.3 155

9.4 重积分的应用 157

9.4.1 曲面的面积 157

9.4.2 质心和转动惯量 158

9.4.3 引力 161

习题9.4 162

总复习题9 163

10 曲线积分与曲面积分 166

10.1 对弧长的曲线积分 166

10.1.1 对弧长的曲线积分的概念 166

10.1.2 对弧长的曲线积分的计算 168

10.1.3 对弧长的曲线积分的应用 170

习题10.1 173

10.2 对面积的曲面积分 174

10.2.1 对面积的曲面积分的概念 174

10.2.2 对面积的曲面积分的性质 175

10.2.3 对面积的曲面积分的计算 176

习题10.2 180

10.3 对坐标的曲线积分 181

10.3.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 181

10.3.2 对坐标的曲线积分的计算 185

习题10.3 190

10.4 格林公式及其应用 192

10.4.1 格林公式 192

10.4.2 平面曲线积分与路径无关的条件 198

习题10.4 204

10.5 对坐标的曲面积分 206

10.5.1 曲面的定向 206

10.5.2 流体流向曲面一侧的流量 207

10.5.3 对坐标的曲面积分的概念与性质 208

10.5.4 对坐标的曲面积分的计算 211

习题10.5 217

10.6 高斯公式及散度 218

10.6.1 高斯公式 218

10.6.2 通量与散度 221

习题10.6 224

10.7 斯托克斯公式与旋度 225

10.7.1 斯托克斯公式 225

10.7.2 旋度 228

习题10.7 229

总复习题10 230

11 微分方程 232

11.1 微分方程的基本概念 232

习题11.1 236

11.2 变量可分离的微分方程 237

11.2.1 变量可分离的微分方程 237

11.2.2 齐次方程 240

习题11.2 243

11.3 一阶线性微分方程 244

11.3.1 一阶线性微分方程 244

11.3.2 伯努利方程 247

习题11.3 248

11.4 全微分方程 249

习题11.4 251

11.5 可降阶的高阶微分方程 251

11.5.1 y（n）＝f（x）型的微分方程 251

11.5.2 y″＝f（x,y′）型的微分方程 252

11.5.3 y″＝f（y,y′）型的微分方程 255

习题11.5 257

11.6 二阶线性微分方程的解结构 257

11.6.1 二阶线性齐次微分方程的解结构 258

11.6.2 二阶线性非齐次微分方程的解的结构 260

习题11.6 262

11.7 二阶常系数线性齐次微分方程 262

习题11.7 267

11.8 二阶常系数线性非齐次微分方程 267

11.8.1 自由项为f（x）＝P（x）eλx的情形 268

11.8.2 自由项为f（x）＝eax［Pl［Pl（x）cosβx+Pn（x）sinβx］的情形 270

习题11.8 273

11.9 欧拉方程 274

习题11.9 275

总复习题11 275

12 无穷级数 278

12.1 常数项级数的概念与性质 278

12.1.1 常数项级数的基本概念 278

12.1.2 常数项级数的基本性质 282

12.1.3 常数项级数收敛的必要条件 285

习题12.1 285

12.2 常数项级数的审敛法 286

12.2.1 正项级数及其审敛法 286

12.2.2 交错级数及其审敛法 294

12.2.3 任意项级数及其审敛法 296

习题12.2 300

12.3 幂级数 301

12.3.1 函数项级数的基本概念 301

12.3.2 幂级数及其收敛性 303

12.3.3 幂级数的运算及其和函数的性质 308

习题12.3 311

12.4 函数展开成幂级数 312

12.4.1 函数展开成幂级数 312

12.4.2 幂级数的应用 321

习题12.4 322

12.5 傅立叶级数 323

12.5.1 以2π为周期的函数展开成傅立叶级数 324

12.5.2 非周期函数的傅立叶级数 330

习题12.5 334

12.6 以2l为周期的函数的傅立叶级数 335

习题12.6 338

总复习题12 338

附录Ⅴ MATLAB软件简介（下） 340

附录Ⅵ 常见曲面 350

参考答案 352