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目录 1

第一篇　多元微分学 1

第一章 多元函数的极限和连续性 1

§1 多元函数的基本概念 1

1.1 由多个因素确定的量 1

1.2　多元函数的概念 2

1.3　函数的定义域 3

1.4　二元函数的几何表示 7

§2 多元函数的极限 9

2.1　聚点的概念 9

2.2　极限的概念 10

2.3　极限的运算法则 12

2.4　累次极限 15

§3 多元函数的连续性 20

3.1　连续函数的定义 20

3.2　连续函数的运算法则 21

3.3　连续函数的基本性质 22

第二章　多元函数的微分法 24

§1 偏导数和高阶偏导数 24

1.1　偏导数的概念 24

1.2　偏导数的计算 26

1.3　二元函数偏导数的几何意义 28

1.5　高阶偏导数 29

1.4　偏导数和连续性 29

§2 复合函数的微分法 34

2.1　中值定理 34

2.2　连锁规则 36

§3 隐函数微分法 45

3.1　问题的提出 45

3.2 由方程式确定的隐函数和微分法 46

3.3　方程组的情形 49

§4 全微分及其应用 56

4.1　整齐形式的中值定理 56

4.2　全微分概念的引进 57

4.3　函数可微的充分条件 59

4.4　全微分在近似计算及误差估计中的应用 61

4.5　全微分的形式不变性 64

4.6　二阶微分和高阶微分 66

第三章　多元微分学的应用 71

§1 在几何上的一些应用 71

1.1　空间曲线的切线与法平面 71

1.2　曲面的切平面和法线 74

§2 多元函数的泰勒公式 82

2.1　问题的提出 82

2.2　泰勒公式 82

3.1　简单例子 87

§3 多元函数的极值 87

3.2　极值的概念 88

3.3　取极值的必要条件和充分条件 89

§4 条件极值 98

4.1　条件极值问题 98

4.2　拉格朗日乘数法 99

4.3　多个约束的条件极值 107

第二篇　多元积分学 111

第四章　二重积分 111

§1 定义和基本性质 111

1.1　和的极限问题 111

1.2　二重积分的定义 114

1.3　二元连续函数的可积性 117

1.4　二重积分的性质 118

§2 直角坐标下二重积分的计算 121

2.1　二重积分的累次积分表示 121

2.2　化二重积分为累次积分的定理 125

2.3　计算举例 127

§3 二重积分的变量替换 134

3.1　极坐标下的二重积分 134

3.2　二重积分的变量替换公式 139

§1 三重积分的定义 146

1.1　和的极限问题 146

第五章　三重积分 146

1.2　三重积分的定义 147

§2 直角坐标下三重积分的计算 147

2.1　三重积分的累次积分表示 147

2.2　化三重积分为累次积分的定理 149

§3 三重积分的变量替换 155

3.1　柱面坐标下三重积分的计算公式 155

3.2　球面坐标下三重积分的计算公式 158

3.3　三重积分的变量替换公式 161

§4 重积分的应用 165

4.1　曲面面积的计算公式 165

4.2　重心 170

4.3　转动惯量 173

第六章　曲线积分 178

§1 第一型曲线积分 178

1.1　按段光滑曲线 178

1.2　第一型曲线积分的定义与性质 179

1.3　第一型曲线积分的计算 180

1.4　第一型曲线积分的物理意义 184

1.5　第一型曲线积分的几何意义 185

§2 第二型曲线积分 191

2.1　变力所做的功 191

2.2　第二型曲线积分的定义与性质 193

2.3　第二型曲线积分的计算 195

2.4　两种曲线积分的关系 199

第七章　曲面积分 203

§1 第一型曲面积分 203

1.1　光滑曲面 203

1.2　第一型曲面积分的定义 204

1.3　第一型曲面积分的计算 205

§2 第二型曲面积分 212

2.1　有向曲面 212

2.2　流体的流量 213

2.3　第二型曲面积分的定义 214

2.4　第二型曲面积分的计算 215

第八章　带参变量积分 224

§1 有穷限的带参变量积分 225

1.1　固定限的带参变量积分 225

1.2　变动限的带参变量积分 229

§2 带参变量广义积分的一致收敛性 234

2.1　带参变量无穷积分的一致收敛性 234

2.2　带参变量无界函数积分的一致收敛性 239

§3 带参变量广义积分确定的函数的性质 242

3.1　带参变量无穷积分确定的函数的性质 242

3.2　带参变量无界函数积分确定的函数的性质 247

4.1　Gamma函数Γ（s） 252

§4 欧拉积分 252

4.2　Beta函数B(p,q) 257

4.3　Beta函数与Gamma函数的关系 259

第三篇　场的数学描写方法 265

第九章　矢量函数和场的概念 265

§1 矢量函数 265

1.1　矢量函数的极限与连续性 265

1.2　矢量函数的微商 268

1.3　矢量函数的积分 272

§2 场和图解 273

2.1　场 273

2.2　场的图形表示法 275

第十章　数量场的梯度 282

§1 方向导数 282

1.1　方向导数的定义 282

1.2　方向导数的计算公式 283

§2 梯度 286

2.1　梯度的定义 286

2.2　梯度的性质及其另一种定义 287

2.3　梯度的几何性质及其几何作法 288

2.4　梯度的运算法则 292

§1 散度及其计算公式 301

1.1　发散量 301

第十一章　矢量场的散度 301

1.2　散度 303

1.3　散度在直角坐标下的计算公式 305

1.4　散度的运算法则 308

§2 奥高公式 311

2.1　奥高公式及其物理意义 311

2.2　奥高公式在积分计算中的应用 314

§3 奥高公式的其它应用 319

3.1　奥高公式与分部积分法 319

3.2　格林第一、第二公式 320

3.3　质量守恒与连续性方程 322

1.1　旋转量（环流） 326

第十二章　矢量场的旋度 326

§1 涡旋量及其计算 326

1.2　涡旋量 329

1.3　涡旋量的计算公式 331

§2 旋度及其计算公式 335

2.1　沿任意方向的涡旋量 335

2.2　空间矢量场的旋度 335

2.3　旋度在直角坐标下的表达式 336

§3　格林公式 339

3.1　格林公式 339

3.2　二重积分的分部积分公式 345

4.1　斯托克斯公式 350

§4 斯托克斯公式 350

4.2　两个基本方程的建立 355

§5 位场和标量势 358

5.1　空间矢量场的标量势 359

5.2　平面矢量场的标量势 368

第十三章　？算符和三度在球、柱曲线坐标下的表达式 372

§1 ？算符的引进及其运算法则 372

1.1　？算符的引进 372

1.2　？算符的运算法 374

1.3　？算符的线性运算性质 376

1.4　？算符的复合运算法则 377

2.1　？算符在柱坐标下的表达式 380

§2 梯度、散度、旋度、？2算符在柱坐标下的表达式 380

2.2　单位矢量er,e？,ez的“微商”公式 381

2.3　散度在柱坐标下的表达式 382

2.4　旋度在柱坐标下的表达式 383

2.5　？算符在柱坐标下的表达式 384

§3 梯度、散度、旋度、？2在球坐标下的表达式 385

3.1　？算符在球坐标下的表达式 385

3.2　单位矢量er,e？,e？的“微商”公式 386

3.3　散度在球坐标下的表达式 387

3.4　旋度、？3算符在球坐标下的表达式 388

答案与提示 393