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第一篇　函数与极限 1

第一章　函数 1

§1　变量 1

1.1　实数系 1

1.2　常量与变量 2

1.3　变量的变域 3

§2　函数 4

2.1　函数的概念 4

2.2　函数的对应关系 6

2.3　函数的定义域 7

2.4　函数的图形和函数的特性 8

3.1　函数的运算 14

§3 函数的运算和映射 14

3.2　映射 17

§4 初等函数 21

4.1　初等函数 21

4.2　双曲函数 26

第二章　数列极限与函数极限 29

§1 数列极限 29

1.1　数列的概念 29

1.2　具有稳定趋向的数列 29

1.3　数列极限概念的精确化之一 31

1.4　数列极限概念的精确化之二 39

§2 收敛数列的性质和运算 43

2.1　收敛数列的性质 43

2.2　数列极限的四则运算 46

3.1　夹挤定理 51

§3 数列收敛的判别法 51

3.2　单调有界原理 54

3.3　上、下极限与柯西准则 58

§4 函数极限 67

4.1 自变量的变化过程和函数的变化趋向 67

4.2　函数的极限概念 68

4.3　函数极限的例子 71

§5 函数极限的性质和运算 76

5.1　函数极限的性质 76

5.2　函数极限的四则运算 77

§6 函数极限存在的判别法 80

6.1　夹挤定理 80

6.2　单调有界原理 83

6.3　柯西准则 84

6.4　海涅定理 85

§7 无穷小与无穷大的阶 87

7.1　无穷小量阶的比较 88

7.2　无穷大量阶的比较 89

7.3　无穷小的替换 90

第三章　连续函数 95

§1 间断和连续的概念 95

1.1　间断的概念 95

1.2　产生间断的原因及其分类 97

1.3　连续的概念 99

§2 连续函数的运算和初等函数的连续性 102

2.1　连续函数的运算 102

2.2　初等函数的连续性 104

§3 闭区间上连续函数的基本性质 106

1.1　导数的定义 113

§1 导数 113

第二篇　微分学 113

第四章　导数与微分 113

1.2　导数的几何意义 116

1.3　导数的物理意义 117

1.4　可微函数 120

§2 求导法则 123

2.1　导数的四则运算 123

2.2　反函数的导数 125

2.3　复合函数的导数 127

2.4　初等函数的求导公式 130

§3　微分 133

3.1　微分的概念 133

3.2　微分的运算 135

3.3　微分的应用 137

§4 累次微分法 142

4.1　高阶导数 142

4.2　莱布尼兹公式 143

4.3　高阶微分 145

§5 隐函数及参数方程表示的函数的微分法 147

5.1　隐函数的微分法 147

5.2　参数方程所表示的函数的微分法 148

第五章　中值定理与泰勒公式 152

§1 拉格朗日中值定理 152

1.1　极值点的概念 152

1.2　明显的几何事实 153

1.3　中值定理 154

1.5　中值定理的推论 157

1.4　中值定理的物理意义 157

1.6　函数单调性的判别 159

§2 柯西中值定理、洛比大法则 167

2.1　柯西中值定理 167

2.2　不定式的定值法 169

§3 泰勒公式 176

3.1　函数在可微点附近的近似多项式 176

3.2　多项式函数的泰勒公式 177

3.3　泰勒公式 178

3.4　马克劳林公式 181

3.5　泰勒公式应用举例 184

§1 最大最小值问题 191

1.1　函数的极值和求法 191

第六章　微分学的应用 191

1.2　最大值及最小值的求法 196

1.3　极值应用举例 199

§2 微分学在几何上的应用 209

2.1　曲线的交角 209

2.2　曲线的凸性与拐点 210

2.3　曲线的渐近线 214

2.4　曲线的曲率与密切圆 217

2.5　函数作图 224

第三篇　积分学 232

第七章 不定积分 232

§1 不定积分的概念 232

1.1　原函数的概念 232

1.2　不定积分的概念 233

1.3　不定积分的基本公式 234

1.4　不定积分的基本性质 235

§2 换元积分法和分部积分法 237

2.1　换元积分法 238

2.2　分部积分法 245

§3 有理函数的积分 252

3.1　最简分式的积分 252

3.2　有理函数的最简分式分解 253

3.3　三角函数的有理式的积分 258

3.4　某些无理函数的积分 261

第八章　定积分 274

§1　求和问题 274

1.1　曲边梯形的面积 274

1.2　变力做功 275

1.3　直线上变速运动的踟 276

2.1　定积分定义 277

§2　定积分概念 277

2.2　可积性条件 278

2.3　定积分的几何意义 280

§3　定积分的基本性质 282

3.1　简单性质 282

3.2　定积分的估计法 285

3.3　积分中值定理 288

§4　微积分学基本定理 292

4.1　原函数存在定理 293

4.2　微积分学的基本定理 294

§5　定积分计算 300

5.1　分部积分法分法 300

5.2　换元积分法 302

1.2　关于微元法的命题 311

1.1　区间函数的可加性 311

第九章　定积分应用 311

§1 微元法 311

1.3　用微元法解题的步骤 314

§2 面积问题 317

2.1 曲边四边形的面积 317

2.2　极坐标下的平面图形面积 322

2.3　旋转曲面的面积 324

§3 体积问题 327

3.1 平行截面面积为已知的立体的体积 327

3.2　旋转体的体积 329

§4 曲线的弧长 332

4.1　直角坐标系中曲线的弧长 332

4.3　极坐标形式的曲线弧长 333

4.2　参数形式的曲线的弧长 333

§5 定积分在物理上的应用 335

5.1　曲边梯形的质量中心 335

5.2　功的计算 339

5.3　流体压力和引力 342

5.4　平均值 345

第十章　广义积分 348

§1 无穷积分 348

1.1　无穷积分问题 348

1.2　无穷积分的收敛和发散概念 349

1.3　非负函数无穷积分敛散性的判别 352

1.4　一般函数无穷积分敛散性的判别 356

§2　无界函数积分 366

2.1　无界函数的积分问题 366

2.2　无界函数积分的收敛、发散概念 367

2.3　非负无界函数积分敛散性的判别 370

2.4　一般无界函数积分敛散性的判别 373

第四篇　空间解析几何 377

第十一章　矢量代数 377

§1 空间直角坐标系 377

1.1　空间直角坐标系 377

1.2　空间点的坐标 378

1.3　坐标的平移 379

1.4　两点间的距离 380

§2　矢量及其几何运算 382

2.1　矢量和矢径 382

2.2　矢量的加减法 383

2.3　数乘矢量 385

2.4　矢量组的线性相关性 387

§3　矢量的坐标与代数运算 390

3.1　矢量的坐标 390

3.2　矢量的代数运算 392

3.3　矢量的方向余弦和方向数 393

§4 矢量的积 397

4.1　矢量的数量积 397

4.2　矢量的矢量积 399

4.3　混合积 403

第十二章　平面与直线 408

§1 平面与一次方程 408

1.1　平面的点法式方程 408

1.2　一次方程的图形 411

1.3　两平面的夹角 415

1.4　点到平面的距离 416

1.5　平面的参数方程 418

§2 空间直线及其方程 421

2.1　空间直线的方程 421

2.2　两直线的夹角 424

2.3　直线与平面的关系 426

2.4　点到直线的距离 427

2.5　异面直线间的距离 428

2.6　平面束方程 429

第十三章　几个特殊的曲面 434

§1 曲面与曲线的方程 434

1.1 曲面与曲线的一般方程 434

1.2　曲面与曲线的参数方程 437

2.1　柱面 438

§2 柱面和投影柱面 438

2.2　投影柱面和投影曲线 441

§3 旋转面和锥面 443

3.1　旋转面 443

3.2　锥面 447

§4 二次曲面 449

4.1　椭球面 449

4.2　单叶双曲面 451

4.3　双叶双曲面 453

4.4　椭圆抛物面 454

4.5　双曲抛物面 455

§5 空间区域的简图 457

附录1　常用的平面曲线 462

附录2　常用的区域简图 466

答案和提示 469