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目录 1

开篇　预考 1

高等数学预考试题（A卷） 1

高等数学预考试题（B卷） 2

（3）z＝∞的留数（111） 4

试题A（答卷） 4

试题B（答卷） 6

第一讲　求极限 12

（1）用不等式“夹挤” 13

（2）用求解方程的方法 14

（3）利用变量变换法 15

（4）利用已知极限的结果 16

（5）用先取对数的方法 17

（6）利用有关公式、恒等式 18

（7）利用有关定理 20

（9）其它 23

（8）利用求等价量的方法 23

一、求导数 24

第二讲　导数的应用 24

二、在分析中的应用 28

（1）用洛必达法则求极限 28

（2）利用函数的单调性讨论问题 30

（3）利用中值定理解决问题 30

（4）求极值 32

三、在几何中的应用 34

（1）作图 34

（2）曲线（面）的法线和切线（面） 37

（3）曲率 39

四、在物理中的应用 41

第三讲　求不定积分 43

一、有理函数的不定积分 44

（1）用换元法求无理函数的不定积分（（a）f(x)＝R(x,？)　（b）f(x)＝R(x,？)　（c）f(x)＝xm(a＋bxn)p) 46

二、换元法 46

（2）用换元法求超越函数的不定积分（（a）f(x)＝R(cosx,sinx) （b）其它） 52

三、分部积分法 54

（1）直接求法 54

（2）递推型 55

（3）循环型 56

（4）其它（（a）？(x)为有理函数，？′(x)＝f(x) （b）？(x)为无理函数，？′(x)＝f(x)） 58

四、不能表达为一个初等函数的不定积分 59

（1）无理函数的情形 59

（2）超越函数的情形 60

第四讲 无穷级数 61

（1）比较判别法 61

一、正项级数收敛性的判别法 61

（2）达朗贝尔判别法 62

（3）柯西判别法 63

（4）积分判别法 67

（5）一个特殊的判别法 69

（6）两个著名的级数不等式（（a）荷尔德不等式　（b）闵可夫斯基不等式） 71

二、级数的一致收敛性 74

（1）级数的一致收敛性概说 74

（2）级数一致收敛的判别法（（a）外尔斯特拉斯判别法 （b）狄利克莱判别法） 78

（3）级数一致收敛的性质与应用（（a）级数和的连续性　（b）逐项求极限　（c）逐项求积分　（d）逐项求导数） 80

三、幂级数 84

（1）幂级数概述（（a）基本概念 （b）收敛半径的求法） 84

（2）函数按幂级数展开（（a）泰勒展开 （b）利用幂级数的代数运算进行展开 （c）利用幂级数的分析运算进行展开） 87

第五讲　广义积分与含参变量积分 93

一、无穷区间广义积分 93

（1）与无穷级数的联系 94

（2）无穷区间广义积分收敛性的判别法（（a）比较判别法 （b）柯西判别法 （c）另一个判别法） 96

二、无界函数广义积分 98

（1）无穷区间广义积分与无界函数广义积分的联系 98

（2）无界函数广义积分的收敛性（（a）柯西判别法 （b）平方可积的性质　（c）荷尔德不等式与闵可夫斯基不等式） 99

三、广义积分的求法 101

四、含参变量的积分 103

（1）含参变量积分一致收敛的判别法 103

（2）含参变量积分的性质与应用（（a）交换极限与积分次序 （b）连续性 （c）交换积分次序 （d）交换微分与积分次序） 105

五、欧拉积分 108

（2）Г-函数的性质 109

（1）В-函数的性质 109

第六讲　留数及其在定积分计算中的应用 110

一、留数定理 110

（1）留数 110

（2）留数定理 111

留数的计算方法（（a）在极点处的留数　（b）m阶极点的判定 （c）在本性奇点处的留数） 112

二、留数定理在定积分计算中的应用 115

（1）有关引理（（a）引理1　（b）引理2　（c）引理3　（d）引理4） 115

（2）几种计算定积分的模型和特例（（a）？R(cosx,sinx)dx （b）？f(x)dx　（c）？F(x)comxdx,？G(x)sinmxdx （d）几个特例） 118

第七讲 重积分，曲线、曲面积分的计算及应用 129

（1）用直角坐标计算重积分 130

一、重积分 130

（2）用极坐标计算二重积分 132

（3）用圆柱坐标计算三重积分 136

（4）用球坐标计算三重积分 139

二、第一类曲线积分 140

（1）第一类曲线积分的计算（（a）？用参数来表示 （b）？用直角坐标来表示） 140

（2）在几何、物理中的应用 141

三、第二类曲线积分 143

（1）第二类曲线积分的计算（（a）？用参数来表示 （b）？用直角坐标来表示） 143

（2）在几何、物理中的应用 144

四、曲线积分的两点注记 146

（1）两类曲线积分的联系 146

（2）曲线积分与路径无关的条件 146

（1）第一类曲面积分的计算 149

五、第一类曲面积分 149

（2）应用 150

六、第二类曲面积分 152

（1）第二类曲面积分的计算 152

（2）应用 154

（3）两类曲面积分的联系 154

七、曲线积分，曲面积分，重积分的联系 155

（1）三个基本定理（（a）格林定理 （b）奥斯特洛格拉特斯基—高斯定理 （c）斯托克斯定理） 155

（2）几个重要公式（（a）由格林定理可以导出的公式 （b）由奥—高定理可以导出的公式） 156

第八讲　矢量分析 158

一、矢量分析概说 158

（1）矢量的导数 158

（2）空间曲线几何学 159

（3）微分算子？ 163

（4）微分算子公式 164

二、正交曲线坐标系下的拉普拉斯算子 165

（1）梯度、散度、旋度的表示式 165

（2）拉普拉斯算子的表示式（（a）柱坐标系（ρ,？,z） （b）极坐标系（ρ,？） （c）球坐标系（r,θ,？） （d）椭圆—双曲柱坐标系（η,ψ,z）） 166

第九讲　解微分方程 169

一、几种初等积分法 169

（1）分离变量法（（a）可分离变量方程 （b）齐次方程 （c）可化为齐次方程的方程） 169

（2）可化为一阶线性的方程（（a）一阶 172

线性方程 （b）贝努里方程 （c）黎卡提方程） 172

（3）恰当方程（全微分方程）（（a）恰当方程 （b）求解方法 （c）积分因子） 173

（4）一阶隐式方程（（a）y＝f(x,y′)型 （b）x＝f(y,y′)型 （c）F(x,y′)＝0型 （d）F(y,y′)＝0型） 178

（5）高阶方程（（a）y(n)＝f(x)型 F（b）(x,y(n))＝0型 （c）F(y(n－1),y(n))＝0型 （d）F(y(n－2),y(n))＝0型） 182

（1）常系数方程（（a）若f(x)＝b0＋b1x＋ ＋bmxm （b）若f(x)＝b0eαx　（c）若f(x)＝eαx(b0cosβx＋b1sinβx) （d）若f(x)＝eαx(Pm(x)cosβx＋Qm(x)sinβx） 184

二、线性常微分方程 184

（2）变系数方程 186

（3）幂级数解法（（a）x＝x0为方程的解析点 （b）x＝x0为方程的正则奇点） 188

三、一阶微分方程组 192

四、一阶偏微分方程 193

（1）线性齐次方程 193

（2）拟线性方程 194

第十讲　富里埃级数展开 196

一、正交函数族 196

二、周期函数的富里埃级数展开 199

（1）周期为2l的函数 199

（2）偶的周期函数 205

（3）奇的周期函数 206

（1）在（-l,l）上定义的函数 208

三、在有限区间上定义的函数展开 208

（2）在（0,l）上定义的函数 210

四、复数形式的富里埃级数 213

五、广义富里埃级数 215

（1）二阶线性常微分方程的本征值问题 215

（2）本征函数族的例 218

（3）按本征函数族展开的例 220

第十一讲　富里埃变换与拉普拉斯变换及其应用 223

一、富里埃变换 223

（1）富里埃积分 223

（2）富里埃变换 227

（3）δ-函数 229

二、富里埃变换的性质 231

（1）在频谱分析中的应用 233

三、富里埃变换的应用 233

（2）在常微分方程中的应用 235

（3）在数学物理方程中的应用 237

四、拉普拉斯变换 238

五、拉普拉斯变换的性质 240

六、拉普拉斯变换的反演公式 244

七、拉普拉斯变换的应用 247

（1）在常微分方程中的应用 247

（2）在数学物理方程中的应用 250

第十二讲 解数学物理方程定解问题 257

一、定解问题 257

二、分离变量法 259

（1）分离变量法的求解步骤 259

（2）非齐次方程（（a）利用本征函数族展开 （b）利用积分形式转化） 266

（3）非齐次边界条件的处理 274

（4）高维的情形（（a）拉普拉斯方程　（b）波动方程及热传导方程） 275

三、达朗贝尔解法 276

（1）无限长弦的自由振动问题 281

（2）行波 282

（3）半无限长弦的自由振动问题 283

（4）有界弦的振动问题 287

四、格林函数解法 290

（1）非齐次波动方程与热传导方程 290

（2）拉普拉斯方程与泊松方程（（a）基本积分公式 （b）泊松方程与拉普拉斯方程第一边值问题的求解公式 （c）格林函数的求法） 294

一、保角变换 308

（1）拉普拉斯算符 308

第十三讲　保角变换及其应用 308

（3）几种常见的保角变换（（a）线性变换　（b）分式线性变换　（c）幂函数变换 （d）根式函数变换 （e）指数函数变换　（f）对数函数变换） 312

（2）解析函数变换的保角性 316

（4）许瓦兹——克利斯多菲变换 319

二、举例与应用 320

（1）举例 320

（2）应用 325

第十四讲　特殊函数 331

一、勒让德方程及其应用 332

（1）勒让德方程 332

（2）本征值问题（（a）勒让德多项式 （b）正交性 （c）模　（d）按勒让德多项式广义富里埃级数展开） 336

二、勒让德多项式的母函数及递推公式 339

（1）母函数 339

（2）递推公式 340

（3）勒让德多项式在解数学物理方程问题中的应用 342

（1）缔合勒让德函数 344

三、缔合勒让德函数与球函数 344

（2）按球函数展开 345

四、贝塞耳方程及其本征值问题 347

（1）贝塞耳方程 347

（2）本征值问题（（a）问题的提出 （b）正交性　（c）模　（d）按贝塞耳函数广义富里埃级数展开） 348

五、贝塞耳函数的母函数与递推公式 353

（1）母函数 353

（2）贝塞耳函数的积分形式 353

（3）递推公式 354

六、虚宗量贝塞耳函数与球贝塞耳函数 356

（1）虚宗量贝塞耳函数 356

（2）球贝塞耳函数 359

（1）线性变换 362

第十五讲　矢量空间的线性变换与二次型 362

一、矢量空间的线性变换 362

（2）解析表达式 364

（3）性质 365

二、线性变换的特征根理论 366

（1）线性变换的化简 366

（2）在解微分方程组中的应用 374

三、内积空间 376

（1）几个特殊的矢量空间（（a）线性赋范空间 （b）内积空间　（c）酉空间 （d）欧几里德空间） 376

（2）酉空间与欧几里德 378

空间的性质 378

（3）酉变换与正交变换（（a）定义 （b）酉方阵（实对称阵）的对角化） 382

四、实二次型的化简 384