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第一章 极限与连续 1

1.1 函数 1

一、函数的概念 1

二、基本初等函数 4

三、复合函数、初等函数 8

习题1.1 9

1.2 数列的极限 12

习题1.2 16

1.3 函数的极限 16

一、x→∞时函数y=f(x)的极限 17

二、x→x0时函数y=f(x)的极限 18

三、函数极限的几个重要性质 22

习题1.3 24

1.4 无穷小与无穷大 25

一、无穷小 25

二、无穷小的性质 26

三、无穷大 28

习题1.4 29

1.5 极限运算法则 30

习题1.5 34

1.6 两个重要极限 36

一、？ 36

二、？ 38

习题1.6 39

1.7 无穷小的比较 40

习题1.7 43

1.8 函数的连续性 44

一、函数的连续性 44

二、函数的间断点 47

习题1.8 49

1.9 连续函数的运算、初等函数的连续性 50

一、连续函数的运算 50

二、初等函数的连续性 51

习题1.9 52

1.10 闭区间上连续函数的性质 53

习题1.10 56

总习题一 56

第二章 导数与微分 63

2.1 导数的概念 63

一、引例 63

二、导数的定义 66

三、求导数举例 67

四、导数的几何意义 70

五、函数的可导性与连续性之间的关系 71

习题2.1 73

2.2 求导法则 75

一、导数的四则运算法则 75

二、复合函数的求导法则 78

三、反函数的求导法则 81

习题2.2 87

2.3 高阶导数 89

习题2.3 92

2.4 隐函数与参数方程确定的函数的导数 93

一、隐函数的导数 93

二、由参数方程所确定的函数的导数 96

习题2.4 100

2.5 函数的微分 101

一、微分的概念 101

二、微分的基本公式及运算法则 106

三、微分的应用 108

习题2.5 112

总习题二 114

第三章 微分学的基本定理和导数的应用 121

3.1 中值定理 121

一、罗尔(Rolle)定理 121

二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 123

三、柯西(Cauchy)中值定理 126

习题3.1 128

3.2 罗必塔法则 129

一、？型和？型的未定式极限 129

二、其他类型未定式的极限 132

习题3.2 135

3.3 泰勒公式 136

一、泰勒(Taylor)公式 136

二、马克劳林(Maclaurin)公式 138

习题3.3 141

3.4 函数的单调性与极值 142

一、函数单调性的判别法 142

二、函数的极值 146

三、最大值与最小值 150

习题3.4 154

3.5 函数图形的描绘 157

一、曲线的凹向和拐点 157

二、曲线的渐近线 160

三、描绘函数图形的一般步骤 162

习题3.5 164

3.6 曲率 165

一、弧微分 165

二、曲率及其计算公式 166

三、曲率圆与曲率半径 170

习题3.6 172

总习题三 173

第四章 不定积分 180

4.1 不定积分的概念及其性质 180

一、原函数和不定积分的概念 180

二、不定积分的基本性质 183

三、基本积分公式 184

习题4.1 186

4.2 换元积分法 187

一、第一换元法 187

二、第二换元法 195

习题4.2 202

4.3 分部积分法 204

习题4.3 209

4.4 几种特殊类型函数的积分举例 210

一、有理函数的积分 210

二、三角函数有理式的积分 216

三、简单无理式的积分 218

习题4.4 220

总习题四 222

第五章 定积分 226

5.1 定积分的概念 226

一、实践中的定积分问题 226

二、定积分定义 230

习题5.1 234

5.2 定积分的性质 234

习题5.2 238

5.3 微积分基本公式 239

一、积分上限的函数及其导数 240

二、牛顿-莱布尼兹公式 242

习题5.3 247

5.4 定积分的换元法与分部积分法 249

一、定积分的换元法 249

二、定积分的分部积分法 253

习题5.4 256

5.5 广义积分 259

一、无限区间上的广义积分 259

二、有无穷间断点的广义积分 263

三、Γ函数与β函数 265

习题5.5 267

总习题五 269

第六章 定积分的应用 274

6.1 定积分的元素法 274

6.2 平面图形的面积 276

一、直角坐标情形 276

二、极坐标情形 280

习题6.2 281

6.3 体积 283

一、平行截面面积为已知的立体的体积 283

二、旋转体的体积 284

习题6.3 286

6.4 平面曲线的弧长 287

习题6.4 289

6.5 功、液体静压力和引力 290

一、变力沿直线做功 290

二、液体静压力 292

三、引力 293

习题6.5 294

6.6 经济应用举例 296

习题6.6 296

总习题六 297

第七章 微分方程 301

7.1 微分方程的基本概念 301

习题7.1 305

7.2 一阶微分方程 305

一、可分离变量的微分方程 305

二、一阶齐次微分方程 310

习题7.2 311

7.3 一阶线性微分方程 313

习题7.3 318

7.4 一阶微分方程的应用 318

习题7.4 328

7.5 可降阶的二阶微分方程 330

一、y(n)=f(x)型 330

二、y"=f(x,y′)型 331

三、y"=f(y,y′)型 332

习题7.5 335

7.6 二阶常系数微分方程 335

一、二阶常系数齐次线性微分方程 336

二、二阶常系数非齐次线性微分方程 340

习题7.6 347

总习题七 348

习题答案 353

附录Ⅰ 386

附录Ⅱ 391

参考书目 404