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偏微分方程与计算机介绍 1

1 有关偏微分方程分类的注记 1

2 方程组和单个方程 7

3 数字计算系统的性质 8

3.1 台式计算 8

3.2 穿孔卡片计算机 10

3.3 自动数字计算机 10

3.4 偏微分方程提出的要求 13

4.1 utt-uxx=0 的最简单初值问题的解 16

4 方程 utt-uxx=0 的有限差分近似 16

1.二个自变量的双曲型方程 16

4.2 一个近似的差分方程 17

4.3 λ＜1时差分方程的显式解 20

4.4 用有限 Fourier 级数表示差分方程的解 25

4.5 向微分问题的解的收敛性 26

4.6 稳定性 28

5 稳定性概念的进一步说明 31

5.1 定义与简单的例子 31

5.2 对波动方程的应用 38

6.1 正规形式 41

6 双曲型微分方程组及其特征线 41

6.2 例 44

6.3 n=2时的典型微分方程组 46

6.4 关于初值问题的注 48

7 拟线性双曲型方程组的有限差分方法 53

7.1 方法的叙述 53

7.2 证明差分近似收敛性的一个一般方法 58

7.3 双曲型组的差分格式的收敛性 62

7.4 在曲线网内的差分 66

7.5 舍入误差 68

8.1 Massau 方法 69

8 沿特征线的积分法 69

8.2 二阶的拟线性方程 71

8.3 对于 n 个因变数的另一积分方法 72

9 用 Adams 方法的积分法 74

10 激波 78

10.1 激波的概念 78

10.2 含有激波的问题的数值解 80

10.3 用模拟的粘性项来计算激波波阵面 84

10.4 粘滞流的真实方程的积分法 89

10.5 Lax 的差分方法 92

2.抛物型方程 95

11 最简单的热流动问题 95

11.1 绪言 95

11.2 初值问题的解 96

12 最简单的有限差分近似 99

12.1 稳定性条件 99

12.2 收敛性与离散化误差 103

13 在有限区间内的线性问题 107

13.1 微分问题 107

13.2 一个有限差分近似 108

13.3 一个隐式方法 110

13.4 隐式差分方程的解 112

13.5 隐式方法的收敛性 114

14 更一般的二个变数的线性抛物型问题：显式方法 117

14.1 显式的形式差分近似 117

14.2 用迭加法解非齐次线性差分问题 118

14.3 正型差分式的有界性与稳定性 121

14.4 John 的有界性条件 124

15 线性问题的其他显式与隐式方法 130

15.1 对隐式方法的一个更一般的处理 130

15.2 用二条以上格线的显式方法 136

15.3 高阶的问题 143

16 收敛性的其他定义.Lax 与 Richtmyer 的理论 146

16.1 关于泛函分析的注记 146

16.2 在 Lax 与 Richtmyer 意义下的收敛性与稳定性 147

17 非线性问题 150

17.1 半线性方程 150

17.2 其他抛物型问题的例子 152

3.椭圆型方程 160

18 含有椭圆型偏微分方程的一些数值问题 160

18.1 一般的 Laplace 边值问题 161

18.2 排水问题 162

18.3 石油流动问题 164

18.4 应力问题 167

18.5 边界层问题 168

18.6 薄膜的特征值问题 169

18.7 简单的核反应堆问题 170

18.8 双调和特征值问题 172

18.9 Plateau 问题 172

18.10 波动方程的特征值问题 173

19 从椭圆型偏微分方程论中选取的结果 173

19.1 变分公式 174

19.2 某些特征值问题的变分公式 180

19.3 自伴性 182

19.4 交接面条件 186

19.5 最大模原理 190

20 椭圆型差分方程问题的形成 191

20.1 离散化及由此产生的问题 191

20.2 直线法 194

20.3 要离散化的问题的类型 195

20.4 不规则网格 195

20.5 建立差分方程的变分方法 199

20.6 正方形网格：导数的逼近 202

20.7 正方形网格：L(u) 和 ?u 的逼近 208

20.8 应用变分方法于核扩散方程 215

20.9 Dirichlet 边值条件的处理 218

20.10 法向导数边值条件 222

20.11 奇点和自由边界 224

21 解椭圆型差分方程的古典理论 225

21.1 差分方程作为矩阵方程 225

21.2 消去法 229

21.3 迭代法 235

21.4 同时位移法；斜量法 242

21.5 Richardson 方法 249

21.6 逐个位移法 259

21.7 Gauss-Southwell 松弛 266

22 显式和隐式超松弛法 268

22.1 逐个超松弛法的 Young-Frankel 理论 268

22.2 没有性质(A)的超松弛 287

22.3 隐式方法：线超松弛 295

22.4 隐式交替方向法 300

22.5 正方形区域收敛速度的总结 313

23.1 Gerschgorin 方法 314

23 离散化和舍入误差 314

23.2 一个带有 Stieltjes 核的积分方程 320

23.3 积分方程的解的一个估计 327

23.4 离散化误差的估计 329

23.5 关于线性 Dirichlet 问题的离散化误差的某些进一步结果摘要 340

23.6 离散的 Dirichlet 问题的 Green 函数 348

23.7 关于 Neumann 问题和第三边值问题的离散化误差 353

23.8 解 Dirichlet 差分问题中的舍入误差 354

23.9 舍入误差的概率估计 361

24.1 引言 365

24 薄膜的特征值问题 365

24.2 用差分方法得到的上界 367

24.3 标准 L 形薄膜 371

24.4 用差分方程得到的下界：Weinberger 方法 373

24.5 用差分方程得到的渐近下界 377

24.6 定理24.7的证明 382

24.7 用 L 形薄膜的试验 391

24.8 有限特征值问题的数值解法 393

25.1 在数字计算机上得到方程 398

25 在自动数字计算机上解椭圆型偏差分方程 398

25.2 当 C 为曲线时得到差分方程 402

25.3 一个求积的服务性程序的计划 405

25.4 等级网格的使用 406

25.5 逐个超松弛：ω的估计 410

25.6 逐个超松弛：需要的时间 416

25.7 解差分方程的其他方法 418

25.8 在计算机上解特征值问题 419

25.9 在计算机上解 Neumann 问题 420

26 波动方程 421

26.1 微分方程 421

4.含多于两个自变量的初值问题 421

26.2 最简单的差分近似 424

27 多维情形的特征 426

28 一个气象预报问题 429

28.1 直接从原始方程组预报 431

28.2 预报方法的修改 432

28.3 一维模型 434

28.4 二维模型 436

28.5 “逆风”差分方程 442

29.1 问题 445

29 关于差分方程和微分方程的 Fourier 方法的一般讨论 445

28.6 三个空间维 445

29.2 用 Fourier 级数求显式解 449

29.3 U(x，t)向 u(x，t)的收敛性 451

29.4 稳定性 454

29.5 怎样检验稳定性和收敛性 455

30 Peaceman-Rachford 方法 458

30.1 一般的描述 458

30.2 对二维热流方程的应用 459

参考文献 461

索引 479