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第一章 函数 1

1 实数 1

一 实数及其性质 1

二 绝对值与不等式 2

2 数集·确界原理 4

一 区间与邻域 4

二 有界集·确界原理 5

3 函数概念 10

一 函数的定义 10

二 函数的表示法 14

三 函数的四则运算 16

四 复合函数 17

五 反函数 19

4 具有某些特性的函数 22

一 有界函数 22

二 单调函数 23

四 周期函数 25

三 奇函数与偶函数 25

5 初等函数 27

一 基本初等函数 27

二 初等函数 32

第二章 数列极限 36

1 数列极限概念 36

一 数列极限的定义 36

二 无穷小数列 42

2 收敛数列的性质 44

3 数列极限存在的条件 54

第三章 函数极限 63

1 函数极限概念 63

一 x 趋于无穷大时函数的极限 63

二 x 趋于某一定数时函数的极限 65

2 函数极限的性质 72

3 函数极限存在的条件 77

4 两个重要极限 82

一 证 lim(x→0) sinx/x＝1 82

二 证明 lim(x→∞)(1+1/x)?＝e 84

一 无穷小量 87

5 无穷小量与无穷大量·阶的比较 87

二 无穷小量阶的比较 88

三 无穷大量 91

第四章 函数的连续性 97

1 连续性概念 97

一 函数在一点的连续性 97

二 间断点及其分类 99

三 区间上的连续函数 101

一 连续函数的局部性质 102

2 连续函数的性质 102

二 闭区间上连续函数的性质 104

三 反函数的连续性 107

四 一致连续性 108

3 初等函数的连续性 111

一 具有实指数的乘幂 112

二 指数函数的连续性 114

三 初等函数的连续性 115

一 问题的提出 119

1 导数概念 119

第五章 导数与微分 119

二 导数的定义 121

三 单侧导数 124

四 导函数 125

五 导数的几何意义 127

2 求导法则 132

一 导数的四则运算 132

二 反函数的导数 136

三 复合函数的导数 137

四 基本求导法则与公式 141

3 微分 143

一 微分概念 143

二 微分的运算法则 146

三 近似计算与误差估计 147

4 高阶导数与高阶微分 150

一 高阶导数 150

二 高阶微分 152

5 参数方程所表示的函数的导数 153

一 费马定理 158

第六章 中值定理与导数应用 158

1 微分学基本定理 158

二 中值定理 159

2 不定式的极限 167

一 0/0型不定式的极限 168

二 ∞/∞型不定式的极限 170

三 其他类型不定式的极限 172

3 泰勒公式 175

一 泰勒定理 175

二 带皮亚诺型余项的泰勒公式 179

三 某些应用 182

4 函数的单调性与极值 185

一 函数的单调性 185

二 极值 187

三 最大值与最小值 190

5 函数的凸性与拐点 194

一 函数的凸性 194

二 拐点 198

6 函数图象讨论 199

一 渐近线 200

二 函数作图 202

第七章 极限与连续性(续) 206

1 实数的完备性 206

一 区间套定理 206

二 聚点定理与有限覆盖定理 209

2 闭区间上连续函数性质的证明 213

一 原函数与不定积分 220

1 不定积分概念与基本积分公式 220

第八章 不定积分 220

二 基本积分表 223

三 不定积分的线性运算法则 225

2 换元积分法与分部积分法 227

一 换元积分法 227

二 分部积分法 233

3 有理函数和可化为有理函数的不定积分 237

一 有理函数的积分 238

二 三角函数有理式的积分 244

三 某些无理根式的积分 246

第九章 定积分 253

1 定积分概念 253

一 问题提出 253

二 定积分的定义 256

2 可积条件 260

一 可积的必要条件 260

二 上和与下和 261

三 可积条件 265

四 可积函数类 266

3 定积分的性质 270

4 微积分学基本定理·定积分计算 276

一 微积分学基本定理 276

二 换元积分法与分部积分法 279

5 非正常积分 286

一 问题提出 286

二 无穷限非正常积分 288

三 无界函数非正常积分 296

1 曲线的弧长 305

第十章 定积分的应用 305

一 直角坐标系中平面图形的面积 309

2 平面图形的面积·微元法 309

二 微元法 311

三 极坐标系中图形的面积 312

3 旋转面的面积和旋转体的体积 314

一 旋转面的面积 314

二 旋转体的体积 315

三 已知截面面积函数的立体体积 317

一 压力 320

4 定积分在物理上的某些应用 320

二 功 321

三 静力矩与重心 322

四 平均值 323

附录Ⅰ 微积分发展简史 326

附录Ⅱ 实数理论 335

附录Ⅲ 积分表 351

习题答案 360