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第五章　多元函数微分学 1

5.1 多元函数 1

一、邻域 1

二、开集与闭集 2

三、区域 2

四、多元函数的概念 4

五、等值线 5

六、多元函数的极限 5

七、多元函数的连续性 8

思考题5.1 9

习题5.1 10

5.2 偏导数 11

一、偏导数的概念 11

二、函数的偏导数与函数连续性的关系 14

三、偏导数的几何意义 15

四、高阶偏导数 16

思考题5.2 17

习题5.2 18

5.3　全微分及其应用 19

一、全微分的概念 19

二、可微的性质 20

三、可微的充分条件 22

四、全微分在近似计算中的应用 23

思考题5.3 26

习题5.3 26

5.4 多元复合函数的求导法则 27

一、复合函数求导的链式法则 27

二、一阶全微分形式的不变性 32

三、复合函数的高阶偏导数 33

思考题5.4 35

习题5.4 35

5.5 隐函数求导法 37

一、一个方程的情形 38

二、方程组的情形 42

思考题5.5 46

习题5.5 46

5.6　偏导数在几何上的应用 47

一、空间曲线的切线和法平面 47

二、空间曲面的切平面和法线 50

思考题5.6 54

习题5.6 54

5.7　方向导数与梯度 55

一、方向导数 55

二、梯度 58

思考题5.7 61

习题5.7 61

5.8 二元函数的泰勒公式 62

习题5.8 65

5.9 多元函数的极值与最大（小）值 66

一、无条件极值 66

二、有界闭区域上的最大值与最小值 69

三、条件极值 拉格朗日乘数法 71

思考题5.9 76

习题5.9 76

5.10　应用实例 77

实例一 拐角问题模型 77

实例二 最优价格模型 79

复习题五 80

第六章 多元数量值函数积分学 83

6.1 多元数量值函数积分的概念与性质 83

一、引例 非均匀物体的质量问题 83

二、多元数量值函数积分的概念 85

三、多元数量值函数积分的性质 86

思考题6.1 88

习题6.1 89

6.2　二重积分的计算 89

一、二重积分的几何意义 90

二、在直角坐标系下计算二重积分 91

三、在极坐标系下计算二重积分 98

四、二重积分的换元法 104

思考题6.2 106

习题6.2 106

6.3 三重积分的计算 109

一、在直角坐标系下计算三重积分 109

二、在柱面坐标系下计算三重积分 114

三、在球面坐标系下计算三重积分 117

四、三重积分的换元法 120

思考题6.3 121

习题6.3 122

6.4　第一类曲线积分的计算 124

一、曲线的弧长 124

二、第一类曲线积分的计算 127

思考题6.4 131

习题6.4 131

6.5 第一类曲面积分的计算 132

一、曲面的面积 132

二、第一类曲面积分的计算 135

思考题6.5 139

习题6.5 139

6.6 积分在物理上的应用 140

一、质心 140

二、转动惯量 143

三、引力 145

思考题6.6 147

习题6.6 148

6.7 含参变量的积分 148

一、有限区间上含参变量的积分 148

二、含参变量反常积分 151

习题6.7 153

6.8　应用实例 153

实例 通信卫星的电波覆盖地球表面的面积 153

复习题六 155

第七章　多元向量值函数积分学 158

7.1　第二类曲线积分 158

一、有向曲线 158

二、引例 159

三、第二类曲线积分的概念与性质 160

四、第二类曲线积分的计算 162

五、第二类曲线积分的应用 165

思考题7.1 167

习题7.1 167

7.2　第二类曲面积分 168

一、有向曲面（曲面的侧） 168

二、引例 170

三、第二类曲面积分的概念与性质 171

四、第二类曲面积分的计算 173

五、第二类曲面积分的应用 179

思考题7.2 181

习题7.2 181

7.3　微积分基本定理的推广 182

一、格林公式 182

二、高斯公式 187

三、斯托克斯公式 190

四、微积分基本定理的统一公式 194

思考题7.3 198

习题7.3 199

7.4　曲线积分与路径的无关性 200

一、曲线积分与路径无关的条件 200

二、全微分方程 208

思考题7.4 210

习题7.4 211

7.5　场论初步 212

一、场的概念 212

二、通量与散度 212

三、环流量与旋度 214

四、保守场与势函数 216

思考题7.5 217

习题7.5 217

复习题七 218

第八章　无穷级数 221

8.1 常数项级数的概念与性质 221

一、常数项级数的概念 221

二、常数项级数的性质 225

三、级数收敛的必要条件 228

思考题8.1 229

习题8.1 229

8.2　常数项级数的判别法 230

一、正项级数的判敛法 230

二、交错级数的判敛法 240

三、绝对收敛与条件收敛 242

思考题8.2 245

习题8.2 246

8.3 幂级数 247

一、函数项级数的一般概念 247

二、幂级数及其收敛区间 249

三、幂级数的运算 253

思考题8.3 258

习题8.3 258

8.4　函数展开成幂级数 259

一、泰勒级数 259

二、函数展开成幂级数 261

思考题8.4 268

习题8.4 268

8.5　幂级数的应用 268

一、用幂级数表示函数 268

二、欧拉公式 269

三、微分方程的幂级数解 270

思考题8.5 275

习题8.5 275

8.6　傅里叶级数 275

一、三角级数 276

二、三角函数系的正交性 276

三、欧拉-傅里叶系数公式 277

四、傅里叶级数的收敛问题 279

思考题8.6 283

习题8.6 283

8.7　正弦级数与余弦级数 284

一、奇偶函数的傅里叶级数 284

二、函数展开成正弦级数与余弦级数 287

思考题8.7 288

习题8.7 288

8.8　任意周期函数的傅里叶级数 289

一、周期为2l的周期函数的傅里叶级数 289

二、傅里叶级数的复数形式 294

三、傅里叶积分 296

习题8.8 298

8.9 应用实例 300

实例 银行存款问题 300

复习题八 302

习题答案 305

参考书目 327