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第一篇 高等数学 1

第一章 函数 极限 连续 1

考点与要求 1

1 函数 1

内容精讲 1

一、定义 1

二、重要性质、定理、公式 4

例题分析 4

一、求分段函数的复合函数 4

二、关于函数有界（无界）的讨论 6

2 极限 6

内容精讲 6

一、定义 6

二、重要性质、定理、公式 8

三、计算极限的一些有关方法 9

例题分析 11

一、求函数的极限 11

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限 16

三、含有|x|，e1/x的X→0时的极限，含有取整函数[x]的x趋于整数时的极限 19

四、无穷小的比较 20

五、数列的极限 21

六、极限运算定理的正确运用 25

3 函数的连续与间断 27

内容精讲 27

一、定义 27

二、重要性质、定理、公式 28

例题分析 28

一、讨论函数的连续与间断 28

二、在连续条件下求参数 29

三、连续函数的零点问题 29

自测题 30

第二章 一元函数微分学 33

考点与要求 33

1 导数与微分，导数的计算 33

内容精讲 33

一、定义 33

二、重要性质、定理、公式 34

例题分析 37

一、按定义求一点处的导数 37

二、已知f（x）在某点x=x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x=x0处的导数 39

三、绝对值函数的导数 43

四、由极限式表示的函数的可导性 44

五、导数与微分、增量的关系 45

六、求导数的计算题 45

2 导数的应用 48

内容精讲 48

一、定义 48

二、重要性质、定理、公式与方法 48

例题分析 50

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论 50

二、渐近线 52

三、曲率与曲率圆 53

四、最大值、最小值问题 54

3 中值定理、不等式与零点问题 55

内容精讲 55

一、重要定理 55

二、重要方法 56

例题分析 57

一、不等式的证明 57

二、f（x）的零点与f’（x）的零点问题 62

三、复合函数ψ（x，f（x），f’（x））的零点 64

四、复合函数ψ（x，f（x），f’（x），f”（x））的零点 65

五、“双中值”问题 66

六、零点的个数问题 66

七、证明存在某ξ满足某不等式 67

八、f’（x）与f （x）的一些极限性质的关系 68

自测题 69

第三章 一元函数积分学 73

考点与要求 73

1 不定积分与定积分的概念、性质、理论 73

内容精讲 73

一、定义 73

二、重要性质、定理、公式 74

例题分析 75

一、分段函数的不定积分与定积分 75

二、定积分与原函数的存在性 77

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分 78

2 不定积分与定积分的计算 81

内容精讲 81

一、基本积分公式 81

二、基本积分方法 82

例题分析 84

一、简单有理分式的积分 84

二、三角函数的有理分式的积分 85

三、简单无理式的积分 85

四、两种不同类型的函数相乘的积分 87

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分 88

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分 90

七、含参变量带绝对值号的定积分 91

3 反常积分及其计算 92

内容精讲 92

一、定义 92

二、重要性质、定理、公式 93

例题分析 94

一、反常积分的计算与反常积分的敛散性 94

二、关于奇、偶函数的反常积分 96

4 定积分的应用 97

内容精讲 97

一、基本方法 97

二、重要几何公式与物理应用 98

例题分析 99

一、几何应用 99

二、物理应用 102

5 定积分的证明题 105

内容精讲 105

例题分析 105

一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等 105

二、由积分定义的函数求极限 107

三、积分不等式的证明 108

四、零点问题 113

自测题 115

第四章 向量代数与空间解析几何 119

考点与要求 119

1 向量代数 119

内容精讲 119

一、与向量有关的基本概念 119

二、向量的运算及性质 119

例题分析 121

一、向量的运算 121

二、向量运算的应用及向量的位置关系 122

2 平面与直线 124

内容精讲 124

一、平面方程 124

二、直线方程 124

三、平面与直线间的位置关系 124

例题分析 125

一、建立平面方程 125

二、建立直线方程 127

三、与平面和直线的位置关系有关的问题 129

3 空间曲面与曲线 131

内容精讲 131

一、旋转面及其方程 131

二、柱面及其方程 131

三、常见的二次曲面及图形 132

四、空间曲线及其方程 133

五、空间曲线的投影 134

例题分析 134

一、建立柱面方程 134

二、建立旋转面方程 135

三、建立空间曲线的投影曲线方程 136

自测题 137

第五章 多元函数微分学 139

考点与要求 139

1 多元函数的极限、连续、偏导数与全微分 139

内容精讲 139

一、多元函数 139

二、二元函数的极限与连续 139

三、二元函数的偏导数与全微分 140

例题分析 142

一、讨论二重极限 142

二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性 144

三、讨论二元函数的可微性 145

2 多元函数的微分法 148

内容精讲 148

一、复合函数的偏导数与全微分 149

二、隐函数的偏导数与全微分 150

例题分析 151

一、求复合函数的偏导数与全微分 151

二、求隐函数的偏导数与全微分 159

3 极值与最值 164

内容精讲 164

一、无条件极值 164

二、条件极值 165

例题分析 165

一、无条件极值问题 165

二、条件极值（最值）问题 167

三、多元函数的最大（小）值问题 168

4 方向导数与梯度及多元微分在几何上的应用 174

内容精讲 174

一、方向导数 174

二、梯度 174

三、曲面的切平面与法线 174

四、曲线的切线和法平面 175

例题分析 175

一、有关方向导数与梯度 175

二、有关曲面的切平面和曲线的切线 179

自测题 181

第六章 多元函数积分学 184

考点与要求 184

1 重积分 184

内容精讲 184

一、二重积分 184

二、三重积分 187

例题分析 189

一、计算二重积分 189

二、累次积分交换次序及计算 198

三、与二重积分有关的综合题 200

四、与二重积分有关的积分不等式问题 203

五、计算三重积分 205

六、三重积分的累次积分 209

2 曲线积分 210

内容精讲 210

一、对弧长的线积分（第一类线积分） 210

二、对坐标的线积分（第二类线积分） 211

例题分析 213

一、对弧长的线积分（第一类线积分） 213

二、对坐标的线积分 215

3 曲面积分 224

内容精讲 224

一、对面积的面积分（第一类面积分） 224

二、对坐标的面积分（第二类面积分） 225

例题分析 227

一、对面积的面积分 227

二、对坐标的面积分 229

4 场论初步 234

内容精讲 234

一、梯度 234

二、通量 235

三、散度 235

四、旋度 235

例题分析 235

一、梯度、旋度、散度的计算 235

5 多元积分的应用 237

内容精讲 237

例题分析 238

一、几何应用 238

二、求物理量 239

自测题 242

第七章 无穷级数 247

考点与要求 247

1 常数项级数 247

内容精讲 247

一、级数的概念与性质 247

二、级数的判敛准则 248

例题分析 249

一、正项级数敛散性的判定 249

二、交错级数敛散性的判定 253

三、任意项级数敛散性判定 256

四、有关常数项级数的证明题与综合题 261

2 幂级数 266

内容精讲 266

一、函数项级数及收敛域与和函数 266

二、幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域 266

三、幂级数的性质 267

四、函数的幂级数展开 267

例题分析 268

一、求幂级数的收敛域 268

二、将函数展开为幂级数 271

三、级数求和 274

3 傅里叶级数 280

内容精讲 280

一、三角函数及其正交性 280

二、傅里叶级数 280

三、收敛性定理 280

四、周期为2π的函数的傅里叶展开 280

五、周期为2l的函数的傅里叶展开 281

例题分析 282

一、有关收敛定理的问题 282

二、将函数展开为傅里叶级数 283

自测题 284

第八章 微分方程 288

考点与要求 288

1 微分方程的概念，一阶与可降阶的二阶方程的解法 288

内容精讲 288

一、定义 288

二、几种特殊类型的一阶微分方程及其解法 289

例题分析 291

一、识别类型，对号入座，按类型求解 291

二、与全微分方程（或与路径无关）有关的问题 292

三、积分方程化为微分方程求解 293

四、偏微分方程化为常微分方程求解 295

五、某些很特殊的函数方程化成微分方程求解 296

2 二阶及高阶线性微分方程 297

内容精讲 297

一、定义 297

二、重要性质、定理、公式 297

例题分析 299

一、识别类型，对号入座，按类型求解 299

二、用变量代换解微分方程 302

三、自由项为分段函数或含有绝对值号的非齐次线性微分方程求解 303

四、写出常系数线性非齐次方程的特解形式 304

五、已知方程的解求方程 304

六、一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系 305

七、欧拉方程求解 306

3 微分方程的应用 307

内容精讲 307

一、几何问题 307

二、变化率问题 307

三、牛顿第二定律或运动等问题 308

四、微元法建立微分方程 309

自测题 310

第二篇 线性代数 312

第一章 行列式 312

考点与要求 312

内容精讲 312

例题分析 315

一、数字型行列式的计算 315

二、抽象型行列式的计算 321

三、行列式|A|是否为零的判定 323

四、关于代数余子式求和 324

自测题 326

第二章 矩阵 327

考点与要求 327

内容精讲 327

1 矩阵的概念及运算 327

一、矩阵的概念 327

二、矩阵的运算 328

三、矩阵的运算规则 328

四、特殊矩阵 329

2 可逆矩阵 330

一、可逆矩阵的概念 330

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件 330

三、逆矩阵的运算性质 330

四、求逆矩阵的方法 330

3 初等变换、初等矩阵 331

一、定义 331

二、初等矩阵与初等变换的性质 331

4 矩阵的秩 332

一、矩阵秩的概念 332

二、矩阵秩的公式 332

5 分块矩阵 332

一、分块矩阵的概念 332

二、分块矩阵的运算 333

例题分析 334

一、矩阵的概念及运算 334

二、特殊方阵的幂 338

三、伴随矩阵的相关问题 341

四、可逆矩阵的相关问题 344

五、初等变换、初等矩阵 348

六、矩阵秩的计算 349

七、矩阵方程的求解 352

自测题 355

第三章 向量 357

考点与要求 357

内容精讲 357

1 向量组的线性相关性 357

2 极大线性无关组、秩 359

3 向量空间 360

例题分析 362

一、线性相关性的判别 362

二、向量的线性表示 364

三、向量组线性无关的证明 366

四、秩和极大线性无关组 369

五、向量空间 374

自测题 378

第四章 线性方程组 380

考点与要求 380

内容精讲 380

1 克莱姆法则 380

2 齐次线性方程组 381

3 非齐次线性方程组 382

例题分析 383

一、线性方程组的基本概念题 383

二、线性方程组的求解 387

三、基础解系 394

四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A 395

五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系 397

六、两个方程组的公共解 398

七、同解方程组 400

八、线性方程组的有关杂题 402

自测题 405

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 408

考点与要求 408

内容精讲 408

1 特征值、特征向量 408

一、特征值，特征向量 408

二、特征方程、特征多项式、特征矩阵 408

三、特征值的性质 408

四、求特征值、特征向量的方法 409

2 相似矩阵、矩阵的相似对角化 409

一、相似矩阵 409

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件 409

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件 410

3 实对称矩阵的相似对角化 410

一、实对称阵 410

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化 410

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤 410

例题分析 411

一、特征值，特征向量的求法 411

二、两个矩阵有相同的特征值的证明 415

三、关于特征向量 416

四、矩阵是否相似于对角阵的判别 417

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数 419

六、由特征值、特征向量反求A 420

七、矩阵相似及相似标准形 423

八、相似对角阵的应用 427

自测题 431

第六章 二次型 434

考点与要求 434

内容精讲 434

1 二次型的概念、矩阵表示 434

一、二次型概念 434

二、二次型的矩阵表示 434

2 化二次型为标准形、规范形、合同二次型 435

一、二次型的标准形，规范形 435

二、化二次型为标准形，规范形 435

三、合同矩阵，合同二次型 436

3 正定二次型、正定矩阵 437

例题分析 437

一、二次型的矩阵表示 437

二、化二次型为标准形 439

三、合同矩阵、合同二次型 444

四、正定性的判别 447

五、正定二次型的证明 450

六、综合杂题 451

自测题 453

第三篇 概率论与数理统计 456

第一章 随机事件和概率 456

考点与要求 456

1 事件、样本空间、事件间的关系与运算 456

内容精讲 456

例题分析 458

2 概率、条件概率、独立性和五大公式 460

内容精讲 460

例题分析 461

3 古典概型与伯努利概型 466

内容精讲 466

例题分析 467

自测题 469

第二章 随机变量及其概率分布 471

考点与要求 471

1 随机变量及其分布函数 471

内容精讲 471

例题分析 472

2 离散型随机变量和连续型随机变量 473

内容精讲 473

例题分析 474

3 常用分布 475

内容精讲 475

例题分析 478

4 随机变量函数的分布 481

内容精讲 481

例题分析 481

自测题 483

第三章 多维随机变量及其分布 486

考点与要求 486

1 二维随机变量及其分布 486

内容精讲 486

例题分析 488

2 随机变量的独立性 493

内容精讲 493

例题分析 494

3 二维均匀分布和二维正态分布 498

内容精讲 498

例题分析 499

4 两个随机变量函数Z=g（X，Y）的分布 501

内容精讲 501

例题分析 502

自测题 507

第四章 随机变量的数字特征 510

考点与要求 510

1 随机变量的数学期望和方差 510

内容精讲 510

例题分析 512

2 矩、协方差和相关系数 519

内容精讲 519

例题分析 520

自测题 527

第五章 大数定律和中心极限定理 530

考点与要求 530

内容精讲 530

例题分析 531

自测题 532

第六章 数理统计的基本概念 534

考点与要求 534

1 总体、样本、统计量和样本数字特征 534

内容精讲 534

例题分析 535

2 常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布 537

内容精讲 537

例题分析 539

自测题 543

第七章 参数估计 545

考点与要求 545

1 点估计 545

内容精讲 545

例题分析 546

2 估计量的求法和区间估计 550

内容精讲 550

例题分析 552

自测题 556

第八章 假设检验 558

考点与要求 558

内容精讲 558

例题分析 559

自测题 563