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第一章 函数 1

1.1 函数 1

1.1.1 集合与区间 1

1.1.2 平面直角坐标系 2

1.1.3 函数的概念 3

1.1.4 函数的简单性态 5

习题1.1 6

1.2 初等函数 7

1.2.1 基本初等函数与函数的运算 7

1.2.2 初等函数 12

习题1.2 13

1.3 极坐标系简介 14

1.3.1 极坐标系 14

1.3.2 极坐标与直角坐标互化 14

习题1.3 17

小结 17

自测题 17

第二章 极限与连续 19

2.1 数列极限 19

2.1.1 数列极限的概念 19

2.1.2 收敛数列的性质 21

习题2.1 22

2.2 函数的极限 22

2.2.1 x→∞时函数f（x）的极限 23

2.2.2 x→x0时函数f（x）的极限 23

2.2.3 函数极限存在的性质 25

习题2.2 25

2.3 无穷小量与无穷大量 极限的运算 26

2.3.1 无穷小量 26

2.3.2 无穷大量 27

2.3.3 无穷小量与无穷大量的关系 28

2.3.4 极限的运算 28

习题2.3 32

2.4 两个重要极限 32

2.4.1 夹逼准则与？sinx/x=1 32

2.4.2 单调有界准则与？（1+1/x）x=e 35

习题2.4 39

2.5 无穷小的比较 40

2.5.1 无穷小的比较 40

2.5.2 利用等价无穷小求极限 41

习题2.5 42

2.6 函数的连续性 43

2.6.1 函数的连续性 43

2.6.2 初等函数的连续性 45

2.6.3 间断点及其分类 46

2.6.4 闭区间上连续函数的性质 48

习题2.6 49

小结 50

自测题 53

第三章 导数与微分 55

3.1 导数的概念 55

3.1.1 引例 55

3.1.2 导数的概念 56

3.1.3 导数的几何意义 60

3.1.4 可导与连续的关系 61

习题3.1 62

3.2 函数的求导法则 62

3.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 62

3.2.2 反函数的导数 64

3.2.3 复合函数的求导法则 65

3.2.4 常数和基本初等函数的求导公式 68

习题3.2 68

3.3 高阶导数 69

3.3.1 高阶导数 69

3.3.2 高阶导数的运算法则 71

习题3.3 72

3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 72

3.4.1 隐函数的导数 73

3.4.2 对数求导法则 74

3.4.3 由参数方程确定的函数的导数 75

3.4.4 相关变化率 77

习题3.4 77

3.5 函数的微分 78

3.5.1 微分的概念 78

3.5.2 微分的几何意义 80

3.5.3 函数的微分 80

3.5.4 微分在近似计算中的应用 82

习题3.5 84

小结 84

自测题 87

第四章 微分中值定理与导数的应用 88

4.1 微分中值定理 88

4.1.1 罗尔（Rolle）中值定理 88

4.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理 89

4.1.3 柯西（Cauchy）中值定理 92

习题4.1 93

4.2 洛必达（L'Hospital）法则 93

4.2.1 0/0型不定式 93

4.2.2 ∞/∞型不定式 95

4.2.3 其他型不定式 96

习题4.2 97

4.3 泰勒公式 98

4.3.1 泰勒（Taylor）公式 98

4.3.2 函数的泰勒公式展开 103

习题4.3 105

4.4 函数的单调性与极值 105

4.4.1 函数的单调性 105

4.4.2 函数的极值 108

4.4.3 最值 111

习题4.4 113

4.5 曲线的凹凸性与图形的描绘 114

4.5.1 曲线的凹凸与拐点 114

4.5.2 曲线渐近线 117

4.5.3 函数图形的描绘 118

习题4.5 120

4.6 曲率 120

4.6.1 弧微分 121

4.6.2 曲率 122

4.6.3 曲率圆与曲率半径 125

习题4.6 126

小结 127

自测题 130

第五章 不定积分 132

5.1 不定积分的概念与性质 132

5.1.1 原函数与不定积分的概念 132

5.1.2 不定积分的基本性质 134

5.1.3 基本积分表 135

习题5.1 137

5.2 换元积分法 137

5.2.1 第一换元积分法（凑微分法） 137

5.2.2 第二换元积分法 143

习题5.2 147

5.3 分部积分法 148

习题5.3 154

5.4 几类特殊函数的积分法 154

5.4.1 有理函数的积分 155

5.4.2 三角函数有理式的积分 157

5.4.3 简单无理函数的积分 158

习题5.4 159

小结 159

自测题 161

第六章 定积分及其应用 163

6.1 定积分的概念和性质 163

6.1.1 两个引例 163

6.1.2 定积分的定义 165

6.1.3 定积分的几何意义 167

6.1.4 定积分的性质 168

习题6.1 170

6.2 微积分基本公式 170

6.2.1 积分上限函数及其导数 170

6.2.2 牛顿-莱布尼茨公式 172

习题6.2 174

6.3 定积分的计算 175

6.3.1 定积分的换元积分法 175

6.3.2 定积分的分部积分法 178

习题6.3 180

6.4 广义积分 181

6.4.1 无穷区间的广义积分 181

6.4.2 无界函数的广义积分（瑕积分） 183

习题6.4 185

6.5 定积分的几何应用 186

6.5.1 平面图形的面积 186

6.5.2 空间立体的体积 191

6.5.3 平面曲线的弧长 193

习题6.5 195

6.6 定积分在物理中的应用 196

6.6.1 变力做功问题 196

6.6.2 液体的静压力问题 198

6.6.3 引力问题 199

习题6.6 200

小结 200

自测题 203

第七章 常微分方程 206

7.1 基本概念 206

习题7.1 209

7.2 可分离变量的微分方程 210

7.2.1 分离变量法 210

7.2.2 齐次方程 213

习题7.2 216

7.3 一阶线性微分方程 216

习题7.3 221

7.4 可降阶的微分方程 221

7.4.1 y(n)=f（x）型的微分方程 221

7.4.2 y″=f（y′，x）型的微分方程 222

7.4.3 y″=f（y′，y）型的微分方程 223

习题7.4 224

7.5 二阶线性微分方程解的结构 224

习题7.5 226

7.6 二阶常系数线性微分方程 226

7.6.1 二阶常系数线性齐次微分方程 226

7.6.2 二阶常系数线性非齐次微分方程 229

习题7.6 233

7.7 微分方程的应用 233

7.7.1 几何应用 233

7.7.2 物理应用 235

习题7.7 236

小结 237

自测题 238

参考答案 240

附录A 常用三角函数公式 255

附录B 不定积分公式表 258

参考文献 262