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第五章　微分方程 1

第一节　微分方程的基本概念 2

习题5-1 10

习题5-1答案 11

第二节　变量可分离的一阶微分方程 12

习题5-2 18

习题5-2答案 19

第三节　齐次型的一阶微分方程 20

习题5-3 27

习题5-3答案 28

第四节　一阶线性微分方程 29

一、线性方程 29

二、伯努利方程 36

习题5-4 40

习题5-4答案 41

第五节　全微分方程 43

习题5-5 48

习题5-5答案 49

一、形如y(n)=f（x）的方程 50

第六节　可降阶的高阶微分方程 50

二、形如y″=f（x,y′）的方程 52

三、形如y″=f（y,y′）的方程 55

习题5-6 57

习题5-6答案 58

第七节　二阶线性微分方程解的结构 59

一、二阶线性齐次微分方程解的性质 59

二、二阶线性非齐次微分方程解的性质 64

习题5-7 66

一、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 68

习题5-7答案 68

第八节　常系数齐次线性微分方程 68

二、n阶常系数齐次线性微分方程的解法 73

习题5-8 75

习题5-8答案 76

第九节　二阶常系数非齐次线性微分方程 76

一、f(x)=Pn(x)eλx型的方程 77

二、f(x)=eλx（Acosωx+Bsinωx）型的方程 83

习题5-9 87

习题5-9答案 88

第十节　微分方程的应用举例 89

习题5-10 94

习题5-10答案 96

第六章　积分学 100

第一节　定积分概念 100

一、定积分问题举例 100

二、定积分的定义 103

三、定积分的几何意义 107

习题6-1答案 109

习题6-1 109

第二节　定积分的性质 110

习题6-2 113

习题6-2答案 115

第三节　微积分基本定理 115

习题6-3 122

习题6-3答案 124

第四节　定积分的换元法和分部积分法 125

一、定积分的换元法 125

习题6-4（1） 132

二、定积分的分部积分法 134

习题6-4（1）答案 134

习题6-4（2） 138

习题6-4（2）答案 139

第五节　广义积分 139

一、无穷区间上的广义积分 140

二、无界函数的广义积分 144

习题6-5 149

习题6 5答案 150

第六节　定积分的应用 151

一、平面图形的面积 153

二、立体的体积 161

三、平面曲线的弧长 165

习题6-6（1） 168

习题6-6（1）答案 171

四、定积分的物理应用举例 172

五、定积分在经济中的应用 175

习题6-6（2） 178

习题6-6（2）答案 179

第七节　重积分的概念与性质 179

一、重积分概念的引入——物体的质量 179

二、二重积分的几何意义 181

三、重积分的存在定理与性质 182

习题6-7 184

习题6-7答案 185

第八节　二重积分的计算 186

一、直角坐标下二重积分的计算 186

二、极坐标下二重积分的计算 196

习题6-8 202

习题6-8答案 206

第九节　三重积分的计算 207

一、直角坐标下三重积分的计算 207

二、柱面坐标下三重积分的计算 213

三、球面坐标下三重积分的计算 216

习题6-9 220

习题6-9答案 222

第十节　重积分的应用 223

一、平面图形的面积 223

二、空间形体的体积 224

三、空间曲面的面积 227

四、质量与质心 230

五、转动惯量 235

习题6-10 237

第十一节　第一型线积分与面积分 239

习题6-10答案 239

一、第一型曲线积分——对弧长的曲线积分 240

习题6-11（1） 247

习题6-11（1）答案 248

二、第一型曲面积分——对面积的曲面积分 248

习题6-11（2） 255

第十二节　第二型线积分与面积分 256

一、第二型曲线积分——对坐标的曲线积分 256

习题6-11（2）答案 256

习题6-12（1） 266

习题6-12（1）答案 267

二、第二型曲面积分——对坐标的曲面积分 268

习题6-12（2） 277

习题6-12（2）答案 278

第十三节　多元函数积分间的联系 278

一、格林（Green）公式 279

二、平面曲线积分与路径无关的条件 286

三、二元函数的全微分求积 291

四、高斯（Gauss）公式 295

习题6-13 299

习题6-13答案 301

第七章　无穷级数 302

第一节　无穷级数的基本概念 302

一、无穷级数 302

二、无穷级数的敛、散性 305

三、级数收敛的必要条件 311

四、收敛级数的基本性质 313

习题7-7答案 314

习题7-1 317

习题7-1答案 319

第二节　常数项级数的审敛法 320

一、正项级数的审敛法 320

二、任意项级数的审敛法 334

习题7-2 343

习题7-2答案 345

第三节　幂级数 346

一、函数项级数的概念 346

二、幂级数及其收敛性 348

三、幂级数的性质 355

习题7-3 358

习题7-3答案 359

一、泰勒级数 360

第四节　函数的幂级数展开式 360

二、泰勒中值定理 361

二、函数的幂级数展开式 364

四、幂级数在近似计算中的应用 372

习题7-4 374

习题7-4答案 375

第五节　幂级数的和函数 377

习题7-5 383

习题7-5答案 383

第六节　傅立叶级数 384

一、把以2π为周期的函数展开成傅立叶级数 385

二、把以2l为周期的函数展开成傅立叶级数 397

习题7-6 402

习题7-6答案 403

第七节　有限区间上的傅立叶级数 405

一、区间［-l,l］上的傅立叶级数 405

二、区间［0,l］上的傅立叶级数 409

习题7-7 413