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第一章 函数、极限与连续 1

课标导航 1

开篇案例 1

第一节 函数 2

一、函数的概念 2

二、函数的性质 5

三、反函数 7

四、初等函数 7

五、建立函数关系（实例） 10

习题1-1 11

第二节 极限 12

一、数列的极限 13

二、函数的极限 14

习题1-2 17

第三节 极限的运算 17

一、极限的四则运算 17

二、两个重要极限 19

习题1-3 21

第四节 无穷小与无穷大 22

一、无穷小 22

二、无穷大 23

三、无穷小的比较 24

习题1-4 25

第五节 函数的连续性 26

一、函数的连续性 26

二、连续函数的运算 31

三、闭区间上连续函数的性质 32

习题1-5 34

复习题一 34

知识梳理与链接 37

第二章 导数与微分 38

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开篇案例 38

第一节 导数的概念 39

一、导数的定义 39

二、导数的意义 43

三、单侧导数 44

四、可导与连续的关系 45

习题2-1 45

第二节 导数的运算法则 46

一、导数的四则运算法则 46

二、反函数的导数 47

三、导数基本公式 49

四、复合函数求导法则 49

习题2-2 50

第三节 几种特殊类型函数的求导 51

一、隐函数求导法 51

二、参数式函数求导法 52

三、对数求导法 53

四、恒等变形法求导 54

习题2-3 54

第四节 高阶导数 55

一、高阶导数 55

二、由参数方程所确定的函数的高阶导数 56

习题2-4 57

第五节 微分及其计算 57

习题2-5 61

复习题二 62

知识梳理与链接 63

第三章 微分中值定理与导数的应用 64

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开篇案例 64

第一节微分中值定理 65

一、罗尔中值定理 65

二、拉格朗日中值定理 66

三、柯西中值定理 67

习题3-1 68

第二节 罗必达法则 68

一、未定型 68

二、0/0型的极限 69

三、∞/∞型的极限 69

四、其它类型未定式的极限 70

习题3-2 72

第三节 泰勒公式 73

习题3-3 77

第四节 函数的性态及其描绘 77

一、函数单调性 77

二、函数的极值 79

三、函数在闭区间上的最大值和最小值 81

四、函数的凹凸性 82

五、函数曲线的渐近线 84

六、函数图形的描绘 84

七、曲线的曲率 86

习题3-4 90

复习题三 91

知识梳理与链接 92

第四章 不定积分 93

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开篇案例 93

第一节 不定积分的概念及性质 93

一、原函数 93

二、不定积分 94

三、不定积分的运算与性质 95

四、基本积分公式 96

五、直接积分法 97

习题4-1 97

第二节 不定积分的换元积分法 98

一、第一类换元积分法（凑微分法） 98

二、第二类换元积分法（变量替换法） 101

习题4-2 104

第三节 分部积分法 105

习题4-3 109

第四节 几种特殊类型的函数积分 110

一、有理函数的积分 110

二、三角有理式的积分 114

三、简单根式的积分 116

习题4-4 116

复习题四 117

知识梳理与链接 118

第五章 定积分及其应用 119

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开篇案例 119

第一节 定积分的概念及性质 120

一、两个案例 120

二、定积分的定义 122

三、定积分的几何意义 123

四、定积分的性质 124

习题5-1 128

第二节 微积分基本公式 129

一、积分上限函数（变上限函数） 129

二、变上限函数的导数 130

三、微积分基本公式 131

习题5-2 132

第三节 定积分的计算方法 133

一、定积分的换元积分法 133

二、定积分的分部积分法 136

习题5-3 139

第四节 广义积分 140

一、无穷限广义积分 140

二、无界函数的广义积分 142

习题5-4 144

第五节 定积分在几何学上的应用 144

一、定积分应用的具体分析方法 144

二、平面图形的面积 145

三、体积 149

四、平面曲线的弧长 151

习题5-5 153

第六节 定积分在物理学上的应用举例 155

一、变力沿直线所做的功 155

二、液体压力 157

三、引力 158

四、力矩和重心 158

五、定积分在电学中的应用—一积分均值的应用 160

习题5-6 161

复习题五 162

知识梳理与链接 165

第六章 空间解析几何 166

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开篇案例 166

第一节 空间直角坐标系 167

一、空间直角坐标系 167

二、空间两点间的距离 167

三、方向余弦与方向数 168

习题6-1 169

第二节 平面及其方程 169

一、平面方程 170

二、两个平面的夹角 171

习题6-2 171

第三节 直线及其方程 172

一、直线方程 172

二、空间两直线的夹角 174

习题6-3 175

第四节 曲面与空间曲线 176

一、曲面方程的概念 176

二、几类常见的空间曲面 176

三、空间曲线的方程 179

习题6-4 180

复习题六 180

知识梳理与链接 181

第七章 多元函数微分学 182

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开篇案例 182

第一节 多元函数 183

一、二元函数 183

二、二元函数的极限 184

三、二重极限的运算法则 185

四、二元函数的连续性 185

习题7-1 186

第二节 偏导数 187

一、偏导数的概念 187

二、高阶偏导数 189

习题7-2 190

第三节 全微分 191

习题7-3 194

第四节 多元复合函数的求导法 194

一、全导数（复合函数的中间变量均为一元函数的情形） 194

二、多元复合函数的求导法 195

习题7-4 197

第五节隐函数的求导 197

一、隐函数的概念 197

二、一元隐函数的求导 198

三、二元隐函数的求导 198

习题7-5 200

第六节 多元函数的极值 200

一、二元函数极值 200

二、多元函数的最大、最小值问题 201

习题7-6 202

第七节 微分在几何学上的应用 202

习题7-7 205

复习题七 205

知识梳理与链接 209

第八章 多元函数积分学 210

课标导航 210

开篇案例 210

第一节 二重积分的概念及性质 211

一、二重积分的概念 211

二、二重积分的性质 213

习题8-1 214

第二节 二重积分的计算方法 214

一、直角坐标系中的计算方法 214

二、极坐标系中的计算方法 218

习题8-2 219

第三节 三重积分 221

一、三重积分的概念 221

二、三重积分的计算方法 222

习题8-3 224

第四节 曲线积分 225

一、对弧长的曲线积分 225

二、对坐标的曲线积分 228

三、格林公式 230

四、平面上曲线积分与路径无关的条件 232

习题8-4 234

第五节 曲面积分 235

习题8-5 237

复习题八 237

知识梳理与链接 238

第九章 常微分方程 239

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开篇案例 239

第一节 微分方程的基本概念 240

习题9-1 242

第二节 分离变量的微分方程 243

习题9-2 245

第三节 一阶线性微分方程 245

习题9-3 249

第四节 几类特殊类型的微分方程 249

一、可降阶的微分方程 250

二、齐次型微分方程 252

三、dy/dx=a1x+b1y+c1/a2x+b2y+c2型微分方程 253

四、伯努利方程 254

习题9-4 255

第五节 二阶线性微分方程 255

一、二阶线性齐次微分方程解的结构 256

二、二阶线性非齐次微分方程解的结构 256

三、二阶常系数线性微分方程 257

习题9-5 263

第六节 微分方程应用举例 263

习题9-6 266

复习题九 267

知识梳理与链接 268

第十章 无穷级数 269

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开篇案例 269

第一节 无穷级数的概念和性质 270

一、无穷级数的基本概念 270

二、无穷级数的基本性质 272

习题10-1 274

第二节 数项级数的审敛法 275

一、正项级数及其审敛法 275

二、交错级数及其审敛法 278

三、任意项级数的敛散性 279

习题10-2 280

第三节 幂级数 280

一、函数项级数 281

二、幂级数的收敛性 282

三、幂级数的运算性质 283

习题10-3 286

第四节 函数的幂级数展开式 286

一、泰勒级数 286

二、函数的幂级数展开 288

三、函数幂级数展开式的应用 291

习题10-4 293

第五节 傅里叶级数 294

一、三角级数与三角函数系的正交性 294

二、周期为2 π的函数展开成傅里叶级数 295

三、函数展开成正弦级数或余弦级数 296

四、周期为21的函数展开成傅里叶级数 299

五、傅里叶级数的复数形式 301

习题10-5 302

复习题十 303

知识梳理与链接 306

附录 307

附录一 数学建模初步 307

一、数学模型 307

二、数学建模 308

三、建模举例 311

四、如何撰写数学建模论文 311

附录二《高等数学》课时分配 314

附录三 部分参考答案 314

参考文献 340