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第一章 高等数学的基础方法 1

1 函数定义域的求法与函数符号的运算法 1

1．定义域的求法 1

2．函数符号的运算与函数关系的确定 3

2　函数极限的求法 4

1．利用初等变形求极限 5

2．利用变量代换求极限 8

3．利用两个重要极限求极限 9

4．利用两个收敛准则求极限 12

5．利用无穷小的性质和泰勒公式求极限 15

6．利用罗必塔法则求极限 16

7．利用定积分定义和性质求极限 18

8．利用旋笃兹定理求极限 21

3 函数连续性的判定与应用 22

1．函数连续性的判定 22

2．闭区间上连续函数的性质的运用 25

4 向量代数方法 28

1．向量的代数运算 28

2．空间平面与直线的方程 29

3．球面、柱面及锥面的方程 32

第一章　习题 34

第二章　微分学方法 37

1 一元函数微分法 37

1．用定义求导数 37

2．用求导法则求导数 40

3．高阶导数的求法 42

2　多元函数微分法 45

1．用定义求偏导数 45

2．复合函数求导法 46

3．隐函数求导法 49

4．方向导数的求法 54

3 微分中值定理与微分中值公式的证明 56

1．证明方程根的存在性 57

2．证明函数具有某些特性的点的存在性 59

3．证明某些关于极限的命题 63

4．证明某些不等式 65

4 函数性态的研究与函数图形的描绘 68

1．利用一阶导数确定函数的单调增减性与极值 68

2．利用二阶导数确定曲线的凹凸与拐点 69

3．函数图形的描绘 71

5 导数与偏导数的几何应用 72

1．平面曲线的切线、法线与曲率 72

2．空间曲线的切线与法平面 75

3．曲面的切平面与法线 77

6 函数的最值及其应用 80

1．一元函数的最值 80

2．多元函数的极值与最值 84

7 用微分学方法证明不等式 89

1．应用微分中值定理证明不等式 89

2．应用函数单调性证明不等式 92

3．应用函数极值证明不等式 94

4．应用凹凸性证明不等式 95

第二章　习题 98

第三章　积分学方法 102

1 不定积分法 102

1．有理函数的不定积分 102

2．无理函数的不定积分 105

3．三角函数有理式的不定积分 107

4．两类函数乘积的不定积分 109

5．分段函数与可化分段函数的不定积分 109

6．不定积分的递推公式 110

2　定积分法 112

1．定积分的计算法 112

2．变上限定积分的有关问题 117

3．与积分有关的等式的证明 120

4．与积分有关的不等式的证明 125

5．广义积分计算法 125

3 二重积分法 132

1．二重积分的计算法及有关问题 132

2．二重积分的换元法 139

3．二重广义积分的计算 140

4．与二重积分有关的等式与不等式的证明 141

4　三重积分法 145

1．化三重积分为三次积分 145

2．“先一后二”法 147

3．“先二后一”法 148

4．三次积分的计算与证明 149

5 含参变量的积分 151

1．积分限固定的情形 152

2．积分限变动的情形 153

6 曲线积分法 159

1．对弧长的曲线积分的计算法 159

2．对坐标的曲线积分的直接计算法 161

3．对坐标的曲线积分的间接计算法 163

4．与曲线积分有关的证明题举例 168

7 曲面积分法 170

1．对面积的曲面积分的计算法 170

2．对坐标的曲面积分的计算法 172

3．高斯公式及其应用 175

4．有关曲面积分的证明题举例 177

8 积分学方法的应用 180

1．求平面图形的面积 180

2．求立体体积 183

3．求曲线的弧长 186

4．求曲面面积 188

5．求物体的质量、重心及转动惯量 191

6．求变力所作的功 195

7．求引力、通量、环流量等 198

9 微积分综合题举例 202

1．计算型综合题 202

2．论证型综合题 205

3．应用型综合题 208

第三章习题 212

第四章 无穷级数方法 219

1 数项级数敛散性的判别方法 219

1．直接判别法 219

2．正项级数的比较判别法及其极限形式 222

3．正项级数的比值判别法、拉阿伯判别法及根值判别法 225

4．正项级数的积分判别法 228

5．交错级数的莱布尼兹判别法 229

6．利用绝对收敛性判别任意项级数的敛散性 230

7．数项级数判敛综合题 232

2 幂级数的解题方法 235

1．幂级数收敛域的求法 235

2．求幂级数的和函数的方法 237

3．函数展成幂级数的方法 243

3 函数的付立叶级数展开法 246

1．周期函数的付立叶展开 247

2．定义在有限区间上的函数的付立叶展开 250

3．利用付立叶级数求数项级数的和 252

4．复数形式的付立叶级数 255

4　一致收敛性的判敛方法 257

第四章习题 259

第五章　微分方程的解法 262

1 一阶微分方程的解法 262

1．可化为可分离变量的微分方程的解法 263

2．可化为齐次的微分方程的解法 264

3．可化为线性的微分方程的解法 266

4．全微分方程的解法 269

5．隐式微分方程的解法 273

2 可降阶的高阶微分方程的解法 276

1 ．不显含未知函数y的方程的解法 276

2．不显含自变量x的方程的解法 278

3．不显含x、y的方程的解法 279

3 常系数线性微分方程的解法 279

1．待定系数法 279

2．微分算子法 282

3．降阶法 284

4．常数变易法 285

4 变系数线性微分方程的解法 286

1．欧拉方程及其他某些方程的解法 286

2．二阶线性微分方程的解法 288

5 常系数线性微分方程组的解法 290

1．消元法 291

2．特征值法 292

6 微分方程应用问题的解法 294

1．解微分方程应用问题的步骤与方法 294

2．几何应用问题举例 294

3．力学应用问题举例 297

4．其他应用问题举例 300

7 与微分方程有关的综合题举例 302

1．微分学与微分方程综合题 303

2．积分学与微分方程综合题 305

3．无穷级数与微分方程综合题 308

第五章习题 311