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第六章 向量代数与空间解析几何 1

第一节 向量及其线性运算 2

一、向量概念 2

二、向量的线性运算 2

三、向量在轴上的投影 6

习题6-1 9

第二节 向量的坐标 10

一、空间直角坐标系 10

二、向量的坐标表示法 14

习题6-2 18

第三节 向量的乘积 19

一、两向量的数量积 19

二、两向量的向量积 23

三、三向量的混合积 26

习题6-3 28

第四节 平面与直线 29

一、平面及其方程 30

二、直线及其方程 36

习题6-4 42

第五节 空间曲面与空间曲线 44

一、空间曲面及其方程 44

二、空间曲线及其方程 58

习题6-5 64

＊第六节Mathematica在空间解析几何中的应用 67

一、基本命令 67

二、实验举例 67

本章小结 71

总习题六 75

第七章 多元函数微分学及其应用 78

第一节 平面点集与多元函数 79

一、平面点集 79

二、n维空间 81

三、多元函数 83

习题7-1 86

第二节 多元函数的极限与连续性 86

一、二元函数极限 87

二、多元函数的连续性 89

习题7-2 92

第三节 全微分与偏导数 93

一、全微分定义 93

二、偏导数 95

三、高阶偏导数 102

四、全微分在近似计算中的应用 105

习题7-3 106

第四节 多元复合函数的微分法 108

一、复合函数的求导法则 109

二、复合函数的全微分 117

习题7-4 118

第五节 隐函数的微分法 120

一、一个方程的情形 120

二、方程组的情形 124

三、反函数组定理 127

习题7-5 129

第六节 方向导数与梯度 130

一、方向导数 131

二、梯度 135

习题7-6 137

第七节 微分法在几何上的应用 138

一、空间曲线的切线与法平面 138

二、空间曲面的切平面与法线 142

习题7-7 146

第八节 多元函数的极值 147

一、多元函数的极值与最值 147

二、条件极值和拉格朗日乘数法 153

习题7-8 159

＊第九节 二元函数的泰勒公式 160

一、二元函数的泰勒公式 160

二、二元函数极值的充分条件的证明 162

习题7-9 164

＊第十节 Mathematica在多元函数微分学中的应用 164

一、基本命令 164

二、实验举例 166

本章小结 169

总习题七 176

第八章 重积分 178

第一节 二重积分的概念及性质 178

一、二重积分的概念 179

二、二重积分的性质 182

习题8-1 184

第二节 二重积分的计算 185

一、直角坐标系下二重积分的计算 185

二、极坐标系下二重积分的计算 192

＊三、二重积分的一般变量代换 197

习题8-2 201

第三节 三重积分 204

一、三重积分的概念和性质 204

二、三重积分的计算 206

习题8-3 220

第四节 重积分的应用 222

一、曲面的面积 222

二、质心 227

三、转动惯量 229

四、引力问题 231

习题8-4 234

＊第五节 含参变量的积分 235

一、含参变量的常义积分 235

二、含参变量的反常积分 239

习题8-5 246

＊第六节Mathematica在重积分中的应用 247

一、基本命令 247

二、实验举例 247

本章小结 248

总习题八 256

第九章 曲线积分与曲面积分 259

第一节 第一型曲线积分——对弧长的曲线积分 259

一、第一型曲线积分概念及性质 259

二、第一型曲线积分的计算 262

习题9-1 265

第二节 第一型曲面积分——对面积的曲面积分 266

一、第一型曲面积分概念及性质 266

二、第一型曲面积分的计算 267

习题9-2 271

第三节 第二型曲线积分——对坐标的曲线积分 272

一、第二型曲线积分概念及性质 272

二、第二型曲线积分的计算 275

习题9-3 281

第四节 格林公式及其应用 282

一、格林公式及相关概念 282

二、格林公式的一个物理原型 290

三、平面曲线积分与路径无关的条件 294

习题9-4 299

第五节 第二型曲面积分——对坐标的曲面积分 300

一、第二型曲面积分的概念与性质 300

二、第二型曲面积分的计算 304

习题9-5 308

第六节 高斯公式与斯托克斯公式 309

一、高斯公式 310

二、第二型曲面积分与曲面无关的条件 314

三、斯托克斯公式 315

＊四、空间曲线积分与路径无关的条件 318

习题9-6 319

第七节 场论初步 320

一、梯度 320

二、散度 322

三、旋度 324

＊四、微分算子 327

习题9-7 328

＊第八节Mathematica在线面积分中的应用 328

本章小结 330

总习题九 339

第十章 常微分方程 342

第一节 微分方程的基本概念 342

一、微分方程问题举例 342

二、基本概念 346

习题10-1 348

第二节 可变量分离的微分方程 349

一、可变量分离的方程概念 349

二、可变量分离的方程的解法 349

三、可化为变量分离的方程 350

习题10-2 354

第三节 一阶线性微分方程与常数变易法 355

一、一阶线性方程 355

二、伯努利方程 357

习题10-3 359

第四节 全微分方程 360

一、全微分方程的概念 360

二、全微分方程的解法 361

习题10-4 364

第五节 某些特殊类型的高阶方程 365

一、形如y（n）＝f（x）的方程 366

二、形如F（x，y（k），y（k＋1），…，y（n））＝0的方程 366

三、形如F（y，y′，y″，…，y（n））＝0的方程 368

习题10-5 369

第六节 高阶线性微分方程 370

一、线性微分方程的一般理论 370

二、齐次线性方程通解的结构 370

三、非齐次线性方程解的结构 372

习题10-6 373

第七节 常系数线性微分方程 373

一、常系数齐次线性微分方程 373

二、常系数非齐次线性微分方程 377

习题10-7 380

＊第八节 常微分方程幂级数解法 381

习题10-8 383

＊第九节Mathematica在微分方程中的应用 383

一、基本命令 383

二、实验举例 384

本章小结 388

总习题十 393

部分习题答案与提示 395

参考文献 414