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绪论 1

0.1微积分概论 1

一、微积分的发展过程 1

二、微积分研究的两个基本问题及方法 2

三、微积分与初等数学的比较 6

四、学习微积分的方法 7

0.2初识符号计算系统Mathematica 8

一、Mathematica的启动和运行 9

二、Mathematica的输入及运算 11

三、Mathematica的联机帮助系统 14

习题0.2 16

阅读材料 微积分成果优先权的争论 16

第一章 函数 极限与连续 18

1.1函数的概念 18

一、集合、区间与邻域 18

二、函数的概念 19

三、函数的几种特性 21

习题1.1 22

1.2初等函数 23

一、反函数 23

二、复合函数 25

三、初等函数 25

四、双曲函数与反双曲函数 26

习题1.2 28

1.3数列的极限 29

一、数列极限的概念 29

二、收敛数列的性质 33

三、数列极限的四则运算法则 35

四、数列极限存在准则 39

习题1.3 41

1.4函数的极限 43

一、自变量趋于无穷大时函数的极限 43

二、自变量趋于有限值时函数的极限 45

三、函数极限的性质 48

习题1.4 49

1.5无穷小量与无穷大量 50

一、无穷小量 50

二、无穷大量 51

三、无穷小量的运算定理 52

习题1.5 54

1.6函数极限的运算法则 55

习题 1.6 58

1.7夹逼准则 两个重要极限 59

习题1.7 62

1.8无穷小量的比较 63

习题1.8 66

1.9函数的连续性 66

一、函数的连续性 66

二、连续函数的运算法则 69

三、初等函数的连续性 70

四、函数的间断点 70

习题1.9 72

1.10闭区间上连续函数的性质 73

习题1.10 75

1.11用Mathematica进行函数运算 75

一、Mathematica中的数、运算符、变量与表达式 75

二、常用函数 78

三、自定义函数 79

四、表 80

习题1.11 81

1.12用Mathematica考察函数的连续性 82

一、函数求极限 82

二、函数的间断点 83

阅读材料 消失了的量的幽灵——第二次数学危机 86

第二章 导数与微分 88

2.1导数的概念 88

一、导数概念的引入 8

二、导数的定义 89

三、求导函数举例 91

四、导数的几何意义 93

五、函数的可导性与连续性的关系 94

习题2.1 95

2.2求导法则 96

一、函数的和、差、积、商的求导法则 96

二、复合函数的求导法则 98

三、反函数的导数 100

四、双曲函数与反双曲函数的导数 102

五、初等函数的求导公式小结 102

习题2.2 103

2.3高阶导数 105

习题2.3 108

2.4隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 109

一、隐函数的导数 109

二、由参数方程所确定的函数的导数 110

三、求导举例 112

习题2.4 114

2.5微分 115

一、微分的概念 115

二、微分的几何意义 116

三、微分的运算法则 117

习题2.5 119

2.6导数与微分的简单应用 119

一、导数的应用 120

二、微分在近似计算中的应用 122

习题2.6 123

2.7用Mathematica进行求导运算 124

一、初等函数求导数 124

二、隐函数方程和参数方程确定的函数求导数 125

习题2.7 126

阅读材料 牛顿、莱布尼茨 127

第三章 微分中值定理与导数的应用 129

3.1微分中值定理 129

一、罗尔（Rolle ）中值定理 129

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 131

三、柯西（Cauchy）中值定理 134

习题3.1 135

3.2洛必达（L Hospital）法则 135

一、0/0型未定式 135

二、？/？型未定式 137

三、其他类型的未定式 138

习题3.2 140

3.3泰勒定理及其应用 141

一、泰勒定理 141

二、几个常用的麦克劳林公式 144

三、泰勒公式的应用 146

习题3.3 148

3.4函数的单调性与极值 148

一、函数单调性的判定 148

二、函数的极值 151

三、函数的最大值和最小值 155

习题3.4 158

3.5曲线的凹凸性与拐点 159

一、曲线的凹凸性 159

二、曲线的拐点 160

习题3.5 162

3.6函数图形的描绘 162

一、曲线的渐近线 163

二、依据函数特性作图 164

习题3.6 168

3.7导数在经济中的应用——边际分析与弹性分析 168

一、边际与边际分析 168

二、弹性与弹性分析 173

习题3.7 180

3.8方程的近似解 182

一、二分法 182

二、切线法 183

习题3.8 185

3.9用Mathematica做导数应用题 185

习题3.9 187

阅读材料法国大数学家——柯西、拉格朗日、罗尔 188

第四章 不定积分 191

4.1不定积分的概念与性质 191

一、原函数与不定积分的概念 191

二、不定积分的性质 193

三、基本积分公式 194

习题4.1 195

4.2换元积分法 195

一、第一类换元积分法 196

二、第二类换元积分法 201

习题4.2 204

4.3分部积分法 206

习题4.3 209

4.4几种特殊类型函数的积分 210

一、有理函数的积分 211

二、三角函数有理式的积分 215

三、简单无理函数的积分 217

四、积分表的使用 218

习题4.4 219

阅读材料 西方数学的传入与中西合璧 220

第五章 定积分 222

5.1定积分的概念与性质 222

一、定积分的实际背景 222

二、定积分的概念 224

三、定积分的几何意义 225

四、定积分的基本性质 226

习题5.1 229

5.2微积分基本公式 230

一、积分上限函数及其导数 230

二、牛顿一莱布尼茨公式 232

习题5.2 234

5.3定积分的换元积分法 235

习题5.3 238

5.4定积分的分部积分法 239

习题5.4 241

5.5定积分的近似计算 241

一、梯形法 241

二、抛物线法 242

习题5.5 244

5.6反常积分 245

一、无穷限反常积分 245

二、无界函数的反常积分 247

三、伽玛（Gamma）函数 249

习题5.6 250

5.7用Mathematica计算一元函数的积分 251

一、定积分的近似计算 251

二、不定积分与定积分的计算 253

习题5.7 253

阅读材料 微积分中的哲学思想 253

第六章 定积分的应用 256

6.1定积分的微元法 256

6.2定积分的几何应用 257

一、平面图形的面积 257

二、体积 261

习题6.2 264

6.3定积分在经济管理中的应用 265

一、已知总产量的变化率求总产量 265

二、已知边际函数求总量函数 265

习题6.3 267

6.4用Mathematica做导数在几何上的应用题 268

一、求平面图形的面积 268

二、求平面曲线的弧长 268

三、求旋转体的体积 269

阅读材料 数学王子——高斯 270

第七章 多元函数的微分法及其应用 272

7.1空间直角坐标系 272

一、空间点的直角坐标 272

二、空间两点间的距离 273

习题7.1 274

7.2曲面及其方程 275

一、曲面及其方程 275

二、柱面 276

习题7.2 278

7.3多元函数的基本概念 279

一、多元函数及其定义域 279

二、二元函数的几何表示 282

习题7.3 282

7.4二元函数的极限与连续 283

一、二元函数的极限 283

二、二元函数的连续性 285

习题7.4 285

7.5二元函数的偏导数与全微分 286

一、偏导数 286

二、高阶偏导数 288

三、偏导数在经济分析中的应用 289

四、全微分及其应用 291

习题7.5 294

7.6多元复合函数与隐函数的求导法则 295

一、多元复合函数的求导法则 295

二、一阶全微分形式不变性 297

三、隐函数的求导法则 298

习题7.6 299

7.7多元函数的极值与最大（小）值 300

一、多元函数的极值 300

二、有界闭区域上的最大值与最小值 303

三、条件极值 306

习题7.7 308

7.8最小二乘法 309

一、最小二乘原理 309

二、多变量的数据拟合 312

三、非线性曲线的数据拟合 313

习题7.8 315

7.9 Mathematica在多元函数微分学中的应用 315

一、二元函数作图 315

二、二次曲面的图形 316

三、相交曲面的作图 317

四、动画制作 318

五、求多元函数的偏导数与全微分 319

六、多元函数的极值 320

习题7.9 321

阅读材料 形与数统一——解析几何的创立 321

第八章重积分 323

8.1二重积分的概念与性质 323

一、引例 323

二、二重积分的概念 325

三、二重积分的性质 326

习题8.1 328

8.2利用直角坐标计算二重积分 329

一、X-型积分区域 329

二、Y-型积分区域 330

三、其他型积分区域 331

习题8.2 334

8.3利用极坐标计算二重积分 335

习题8.3 341

8.4二重积分的应用举例 341

一、二重积分在经济管理中的应用 342

二、二重积分在农业上的应用 344

习题8.4 347

8.5用Mathematica计算重积分 347

习题8.5 348

阅读材料 最多产的数学家——欧拉 349

第九章 微分方程 351

9.1微分方程的基本概念 351

习题9.1 353

9.2可分离变量的微分方程 353

一、可分离变量的微分方程 353

二、齐次微分方程 357

习题9.2 358

9.3一阶线性微分方程 359

一、线性方程 359

二、伯努利（Bernoulli）方程 363

习题9.3 364

9.4几种特殊类型的二阶微分方程 365

一、y”=f（x）型的微分方程 365

二、y”=f（x,y’）型的微分方程 366

三、y”=f（y,y’）型的微分方程 367

习题9.4 370

9.5二阶常系数齐次线性微分方程 370

习题9.5 374

9.6二阶常系数非齐次线性微分方程 374

一、f（x）=Pn（x）型 376

二、f（x）=Pn（x）e？x型 377

三、f（x）=（Acosβx+Bsinβx）型 379

习题9.6 383

9.7微分方程在经济和农业等方面的应用 383

习题9.7 387

9.8用Mathematica解常微分方程 387

习题9.8 388

阅读材料 星光闪耀的数学家族——伯努利家族 388

第十章 无穷级数 391

10.1常数项级数的概念和性质 391

一、常数项级数的基本概念 391

二、无穷级数的基本性质 394

习题10.1 397

10.2常数项级数的审敛法 398

一、正项级数及其审敛法 398

二、交错级数及其审敛法 404

三、绝对收敛与条件收敛 405

习题10.2 406

10.3幂级数 407

一、函数项级数的一般概念 407

二、幂级数及其收敛性 408

三、幂级数的运算与和函数的性质 411

习题10.3 414

10.4函数展开成幂级数 414

一、泰勒级数 415

二、函数展开成幂级数 415

三、函数的幂级数展开式的应用 418

习题10.4 422

10.5用Mathematica进行级数运算 422

一、数项级数 422

二、求幂级数的收敛域 423

三、函数的幂级数展开 424

习题10.5 425

阅读材料 趣味级数——调和级数 425

附录A 初等数学常用公式 428

附录B 几种常用的曲线 432

附录C 符号计算系统Mathematica的常用系统函数 435

附录D 积分表 447

习题参考答案 456

参考文献 478