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引言 1

第1章 复数与复变函数 3

1.1 复数 3

1.1.1 复数的基本概念 3

1.1.2 复数四则运算与共轭复数 4

1.1.3 复数的表示 6

1.1.4 复数的乘幂与方根 10

1.2 复平面上的曲线和区域 16

1.2.1 复平面上的曲线 16

1.2.2 复平面上的点集 18

1.2.3 扩充复平面与复球面 20

1.3 复变函数的极限和连续性 21

1.3.1 复变函数的概念 21

1.3.2 复变函数的极限 24

1.3.3 复变函数的连续性 27

复变函数论的发展简况 29

本章小结 30

习题1 31

第2章 解析函数 34

2.1 解析函数的定义 34

2.1.1 复变函数的导数与微分 34

2.1.2 解析函数的定义 36

2.1.3 求导运算法则 38

2.2 函数解析性判别 39

2.2.1 可导和解析的条件 39

2.2.2 柯西-黎曼条件的极坐标形式 45

2.2.3 解析函数的性质 47

2.3 初等解析函数 48

2.3.1 指数函数 49

2.3.2 对数函数 50

2.3.3 幂函数 53

2.3.4 三角函数 54

2.3.5 反三角函数 59

2.3.6 双曲函数与反双曲函数 60

2.3.7 初等多值函数的解析性 62

本章小结 63

习题2 63

第3章 复变函数的积分 66

3.1 复变函数积分的定义和性质 66

3.1.1 复变函数积分的定义 66

3.1.2 积分存在的条件 67

3.1.3 复变函数的积分性质 69

3.1.4 复变函数积分的计算例题 70

3.2 柯西定理及其推广 72

3.2.1 柯西基本定理 73

3.2.2 原函数 74

3.2.3 多连通区域的柯西定理 76

3.3 柯西积分公式 78

3.3.1 单连通区域中的柯西公式 78

3.3.2 多连通区域的柯西公式 80

3.4 解析函数的高阶导数 83

3.4.1 高阶导数公式 83

3.4.2 柯西公式和高阶导数公式理论应用 87

3.5 解析函数与调和函数的关系 88

3.5.1 调和函数的定义 88

3.5.2 利用调和函数构造解析函数 88

3.5.3 利用解析函数的导数求调和函数的稳定点 92

柯西-古尔萨定理证明 94

本章小结 98

习题3 99

第4章 复级数 102

4.1 复数项级数 103

4.1.1 复数列 103

4.1.2 复数项级数 104

4.2 幂级数 108

4.2.1 复变函数项级数 108

4.2.2 幂级数的概念及性质 109

4.3 泰勒级数 117

4.3.1 泰勒定理 117

4.3.2 解析函数的泰勒展开 120

4.4 洛朗级数 123

4.4.1 双边幂级数 123

4.4.2 解析函数的洛朗展开 125

本章小结 129

习题4 130

第5章 留数 133

5.1 孤立奇点及其分类 134

5.1.1 孤立奇点的概念及分类 134

5.1.2 函数的零点与极点的关系 139

5.1.3 解析函数在无穷远点的性态 141

5.2 留数的概念及计算 144

5.2.1 留数定义与留数定理 144

5.2.2 留数的计算 146

5.2.3 解析函数在无穷远点的留数 150

5.3 留数在定积分计算中的应用 151

5.3.1 形如∫2π 0 R（cosθ，sinθ）dθ的积分 152

5.3.2 形如∫＋∞ －∞ R（x）dx的积分 154

5.3.3 形如∫＋∞ －∞ R（x）eiλx dx（λ＞0）的积分 156

5.3.4 杂例 157

5.4 对数留数与辐角原理 160

5.4.1 对数留数 160

5.4.2 辐角原理 162

5.4.3 儒歇定理 163

本章小结 164

习题5 165

第6章 保形映射 169

6.1 保形映射的概念 169

6.1.1 解析函数导数的几何意义 169

6.1.2 保形映射的概念 173

6.1.3 单叶解析函数的映射性质 174

6.2 分式线性映射 176

6.2.1 分式线性映射的概念 176

6.2.2 分式线性映射的性质 179

6.3 唯一确定分式线性映射的条件 183

6.3.1 唯一确定分式线性映射的条件 183

6.3.2 分式线性映射应用举例 186

6.4 几个初等函数构成的映射 189

6.4.1 幂函数w＝zn（n≥2为整数） 189

6.4.2 指数函数w＝ez 190

本章小结 191

习题6 192

第7章 傅里叶变换 194

7.1 傅里叶积分 194

7.1.1 傅里叶积分 195

7.1.2 傅里叶积分定理 196

7.2 傅里叶变换的概念 198

7.3 单位脉冲函数广义傅里叶变换 200

7.3.1 单位脉冲函数的概念 200

7.3.2 δ-函数的性质 201

7.3.3 广义傅里叶变换 204

7.4 傅里叶变换的性质 206

7.4.1 傅里叶变换的重要性质 206

7.4.2 乘积定理 209

7.4.3 帕塞瓦尔定理 210

7.5 卷积 211

7.5.1 卷积定义及基本性质 211

7.5.2 卷积定理 212

7.6 Rn上的傅里叶变换 215

7.6.1 L1（Rn）中的傅里叶变换 216

7.6.2 L2（Rn）中的傅里叶变换 220

本章小结 222

习题7 224

第8章 拉普拉斯变换 227

8.1 拉普拉斯变换的概念 227

8.1.1 拉氏变换的定义 227

8.1.2 拉氏变换的存在定理 228

8.2 拉氏变换的性质 233

8.2.1 拉氏变换的性质 233

8.2.2 初值和终值定理 240

8.3 卷积 242

8.3.1 卷积的定义 242

8.3.2 卷积性质 242

8.3.3 卷积定理 243

8.4 拉氏逆变换 244

8.4.1 反演积分公式 245

8.4.2 拉氏逆变换的求法 246

8.5 拉氏变换的应用 249

本章小结 253

一、拉氏变换的概念 253

二、拉氏变换的性质 254

三、卷积 255

四、拉氏逆变换 256

五、拉氏变换的应用 256

习题8 256

第9章 Z变换 260

9.1 Z变换的基本概念 260

9.1.1 序列、差分和差分方程 260

9.1.2 Z变换的定义 262

9.1.3 Z变换存在性定理 263

9.1.4 Z变换的收敛域 264

9.1.5 常用序列的Z变换举例 265

9.2 Z变换的性质 266

9.2.1 线性性质 266

9.2.2 左移性质 266

9.2.3 右移性质 267

9.2.4 初值定理 268

9.2.5 终值定理 269

9.2.6 z域微分性质 269

9.2.7 z域尺度变换性质 270

9.2.8 时域卷积定理 271

9.3 Z逆变换 272

9.3.1 Z逆变换的定义 272

9.3.2 求Z逆变换的常用方法 272

9.4 Z变换的应用 276

本章小结 277

习题9 277

参考文献 280

附录Ⅰ 傅氏变换简表 281

附录Ⅱ 拉氏变换简表 284