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第一章 函数与极限 1

第一节 函数 1

一、变量与区间 1

二、函数概念 3

三、函数的几种特性 10

四、初等函数 16

习题1-1 20

第二节 极限 28

一、数列的极限 28

二、函数的极限 33

三、函数的单侧极限 39

习题1-2 41

第三节 无穷小及其运算 42

一、无穷小 42

二、无穷大 43

三、无穷小与无穷大的关系 45

四、无穷小的运算 47

五、无穷小的比较 49

习题1-3 51

第四节 极限运算 52

一、极限的四则运算 52

二、两个重要极限 57

习题1-4 63

第五节 函数的连续性与间断点 65

一、函数的连续性 65

二、函数的间断点 69

三、初等函数的连续性 72

四、闭区间上连续函数的性质 76

习题1-5 78

第二章 导数及其应用 82

第一节 导数概念 82

一、求变化率的基本分析方法 82

习题2-1（1） 86

二、导数的定义及基本初等函数的求导公式 87

习题2-1（2） 96

三、导数的几何意义 98

习题2-1（3） 100

四、函数的可导性与连续性的关系 101

习题2-1（4） 104

第二节 求导数的基本规律 105

一、函数的和、差、积、商的求导法则 105

习题2-2（1） 111

二、复合函数求导数（隐函数求导数，对数求导法） 113

习题2-2（2） 120

三、反函数求导数 123

习题2-2（3） 125

四、参数方程及其导数 125

习题2-2（4） 129

五、高阶导数 131

习题2-2（5） 134

第三节 中值定理未定式 135

一、中值定理 135

习题2-3（1） 145

二、未定式与罗必塔法则 145

习题2-3（2） 153

第四节 函数的单调性、凹凸性函数图象 155

一、函数单调性判别法与函数极值求法 155

习题2-4（1） 165

二、最大值与最小值问题 167

习题2-4（2） 173

三、函数图形的凹凸性函数作图 174

习题2-4（3） 182

第五节 函数的微分及其应用 183

一、微分的定义 183

二、微分的几何意义 186

三、微分运算的基本规律 186

四、微分在近似计算中的应用 190

习题2-5 194

第六节 曲率 196

习题2-6 202

第三章 积分及其应用 204

第一节 不定积分的概念与性质 204

一、原函数 204

二、不定积分 206

三、不定积分的几何意义 207

四、基本积分公式 208

五、不定积分的性质 211

第二节 不定积分的计算方法 212

一、直接积分法 212

习题3-2（1） 215

二、第一类换元法 216

习题3-2（2） 226

三、第二类换元法 228

习题3-2（3） 239

四、分部积分法 240

习题3-2（4） 254

五、积分表的使用 256

习题3-2（5） 260

第三节 定积分的概念与性质 261

一、两个实例 261

二、定积分的定义 265

三、定积分的几何意义 268

习题3-3（1） 272

四、定积分的性质中值定理 274

习题3-3（2） 278

第四节 微积分基本公式 278

一、积分上限函数 279

二、牛顿－莱布尼兹公式 282

习题3-4 286

第五节 定积分的分部积分法和换元法 288

一、定积分的分部积分法 288

二、定积分的换元法 290

习题3-5 293

第六节 定积分的应用 295

一、定积分在几何上的应用 295

习题3-6（1） 311

二、定积分在物理上的应用 313

习题3-6（2） 320

三、定积分的近似计算 321

习题3-6（3） 329

第七节 广义积分 330

一、积分区间为无穷区间的广义积分 330

二、被积分函数有无穷型间断点的广义积分 333

习题3-7 336

第四章 二元函数的微积分学 338

第一节 向量代数 338

一、向量的概念 338

二、向量坐标 343

三、数量积与向量积 349

习题4-1 352

第二节 曲面与曲线 355

一、平面方程 355

二、直线方程 360

三、曲面 363

四、曲线 367

五、几种常用的二次曲面 369

习题4-2 372

第三节 二元函数及其微分法 374

一、二元函数的基本概念 374

二、偏导数 376

三、全微分 383

四、复合函数的求导法则 386

五、隐函数求导公式 391

习题4-3 393

第四节 二元函数微分学的应用 395

一、偏导数在几何上的应用 395

二、二元函数的极值与最大、最小值 400

习题4-4 406

第五节 二重积分 407

一、二重积分的概念与性质 408

二、二重积分的计算方法 412

三、二重积分的应用 421

习题4-5 425

第六节 曲线积分 428

一、对弧长的曲线积分 428

二、对坐标的曲线积分 433

三、格林公式及其应用 438

习题4-6 443

第五章 无穷级数 445

第一节 常数项级数 445

一、数项级数及其收敛定义 445

二、级数收敛的必要条件 449

第二节 正项级数及其审敛法 453

第三节 交错级数及其审敛法 460

第四节 任意项级数及其审敛法 462

习题5-1 465

第五节 幂级数 468

一、幂级数及其收敛域 469

二、幂级数的运算性质 472

习题5-2 477

第六节 把函数展成幂级数 478

一、为什么要把函数展成幂级数 478

二、函数展成幂级数的一般方法 479

第七节 幂级数在近似计算中的应用 489

习题5-3 492

第八节 三角级数 493

一、三角函数系的正交性 494

二、把周期为2π的函数展成傅立叶级数 495

三、奇函数与偶函数的傅立叶级数 500

四、把周期为2l的函数展成三角级数 503

习题5-4 508

第六章 微分方程 509

第一节 微分方程的基本概念 509

习题6-1 514

第二节 可分离变量的一阶方程 515

习题6-2 523

第三节 一阶线性微分方程 525

习题6-3 535

第四节 全微分方程 536

习题6-4 540

第五节 可降阶的二阶微分方程 540

一、y″=f(x)型的微分方程 541

二、y″=f(x,y)型的微分方程 542

三、y″=f(y,y′)型的微分方程 546

习题6-5 547

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 548

习题6-6 564

第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程 565

一、f(x)=Pm(x)型 566

二、f(x)=eλxPm(x)型 569

三、f(x)=eλx〔Pl(x)cosωx＋Pm(x)sinωx〕型 571

习题6-7 576

习题答案 578

附表 积分表 624