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第一章 函数 1

1.1集合 1

一、集合 1

1.集合的概念 1

2.集合的运算 2

二、实数集 3

1.实数与数轴上的点 3

2.实数的绝对值 3

3.区间 4

4.邻域 4

习题1.1 5

1.2函数 5

一、常量与变量 5

二、函数的概念 5

三、函数的表示法 6

四、极坐标与参数方程所确定的函数 7

1.极坐标中的函数 7

2.由参数方程确定的函数 10

五、分段函数 11

习题1.2 12

1.3函数的运算与特性 13

一、函数的运算 13

二、函数的特性 14

1.单调性 14

2.奇偶性 14

3.有界性 14

4.周期性 16

习题1.3 17

1.4反函数和复合函数 17

一、反函数 17

二、复合函数 18

习题1.4 20

1.5初等函数 21

一、基本初等函数 21

1.常量函数y=C 21

2.幂函数y=xα（α为实数） 21

3.指数函数y=ax（a＞0，a≠1） 22

4.对数函数y=log a x（a＞0，a≠1） 22

5.三角函数 23

6.反三角函数 25

二、初等函数 26

习题1.5 26

1.6常见的经济函数 27

一、成本函数 27

二、需求函数 28

三、供给函数 29

四、总收益函数 30

五、总利润函数 31

习题1.6 32

第一章总习题 33

第二章 极限与连续 35

2.1数列的极限 35

一、数列 35

1.数列的概念 35

2.数列的几何表示 36

3.子数列 36

二、数列极限的概念与性质 37

1.数列极限的定义 37

2.数列极限的几何解释 41

3.数列极限的性质 41

习题2.1 44

2.2函数的极限 44

一、函数极限的概念 45

1.自变量趋于无穷大时函数的极限 45

2.自变量趋于有限值时函数的极限 48

二、函数极限的性质 52

习题2.2 54

2.3无穷小量与无穷大量 55

一、无穷小量 55

1.无穷小量的定义 55

2.函数极限与无穷小量的关系 56

3.无穷小量的性质 56

二、无穷大量 57

1.无穷大量的概念 57

2.无穷大量与无穷小量的关系 58

3.无穷大量的运算性质 59

三、无穷小量的比较 59

习题2.3 60

2.4函数极限的运算 61

一、函数极限的四则运算法则 61

二、复合函数的极限 65

习题2.4 67

2.5极限存在的准则、两个重要极限 67

一、极限存在的准则 67

二、两个重要极限 70

1.lim x→0 sin x/x=1 70

2.lim x→∞（1＋1/x）x=e 72

三、等价无穷小量代换法求极限 75

四、连续复利 78

习题2.5 79

2.6函数的连续性 80

一、变量的增量 80

1.自变量的增量 80

2.函数的增量 80

二、函数连续的概念 81

1.函数在一点处连续 81

2.左连续和右连续 82

3.函数在区间上连续 83

三、函数的间断点及其类型 84

1.函数的间断及间断点的概念 84

2.间断点的类型 84

四、连续函数的运算法则及初等函数的连续性 86

1.连续函数的四则运算法则 86

2.复合函数的连续性 87

3.反函数的连续性 87

4.初等函数的连续性 88

习题2.6 89

2.7闭区间上连续函数的性质 90

习题2.7 93

第二章总习题 94

第三章 导数与微分 98

3.1导数的概念 98

一、引例 98

引例1曲线的切线问题 98

引例2变速直线运动的瞬时速度 99

二、导数的定义 100

1.函数在一点处的导数 100

2.函数在区间内的导数 101

3.单侧导数 103

三、导数的几何意义 104

四、函数的可导性与连续性的关系 105

1.可导必连续 105

2.连续未必可导 106

习题3.1 107

3.2求导法则与基本初等函数求导公式 108

一、函数的和、差、积、商的求导法则 108

二、反函数的求导法则 110

三、复合函数的求导法则 111

四、求导法则与基本初等函数的导数公式表 115

1.函数的和、差、积、商的求导法则 115

2.反函数的求导法则 115

3.复合函数的求导法则 116

4.基本初等函数导数公式表 116

习题3.2 116

3.3高阶导数 117

习题3.3 120

3.4隐函数的导数 由参数方程确定的函数的导数 121

一、隐函数的导数 121

二、由参数方程确定的函数的导数 124

习题3.4 125

3.5函数的微分 126

一、微分的定义 126

二、微分的几何意义 128

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 129

1.基本初等函数的微分公式 129

2.函数和、差、积、商的微分法则 130

四、微分形式的不变性 130

五、微分在近似计算中的应用 132

习题3.5 133

3.6边际与弹性 133

一、经济函数的变化率——边际 133

1.边际成本 134

2.边际收益 134

3.边际利润 135

4.边际需求与边际价格 136

二、经济函数的相对变化率——弹性 136

1.函数弹性的定义 136

2.需求的价格弹性 137

3.需求弹性与总收益 138

习题3.6 140

第三章总习题 140

第四章 中值定理与导数的应用 144

4.1中值定理 144

一、罗尔定理 144

二、拉格朗日中值定理 146

三、柯西中值定理 149

习题4.1 150

4.2洛必达法则 151

一、0/0型未定式 151

二、∞/∞型未定式 154

三、0.∞、∞—∞、00、1∞、∞0型未定式 155

习题4.2 156

4.3函数的单调性与极值 157

一、函数的单调性 157

二、函数的极值 160

习题4.3 164

4.4曲线的凹凸性与拐点 164

一、曲线的凹凸性 165

二、曲线的拐点 166

习题4.4 167

4.5函数图形的描绘 168

一、曲线的渐近线 168

1.水平渐近线 168

2.铅直渐近线 168

3.斜渐近线 168

二、函数图形的描绘 169

习题4.5 172

4.6函数的最值及其在经济中的应用 172

一、函数的最大值和最小值 172

二、经济应用问题 173

1.最大利润问题 173

2.最大收益问题 174

3.最低平均成本问题 175

4.最大征税收益问题 176

习题4.6 177

4.7泰勒公式 177

习题4.7 182

第四章总习题 183

第五章 不定积分 186

5.1不定积分的概念与性质 186

一、原函数的概念 186

二、不定积分的定义 187

三、不定积分的几何意义 188

四、不定积分的基本性质 188

五、基本积分公式 189

六、直接积分计算举例 190

习题5.1 192

5.2换元积分法 193

一、第一换元积分法（“凑”微分法） 193

二、第二换元积分法 199

1.三角函数代换 199

2.简单无理函数代换 202

3.倒代换 203

习题5.2 204

5.3分部积分法 205

一、降幂法 206

二、升幂法 207

三、循环法 208

四、递推法 210

习题5.3 212

5.4有理函数的不定积分 212

一、化有理函数为部分分式 212

二、待定系数法举例 213

习题5.4 215

第五章总习题 215

第六章 定积分和反常积分 218

6.1定积分的概念 218

一、问题的提出 218

问题1求曲边梯形的面积 218

问题2求总收益 219

二、定积分的定义 219

三、定积分的几何意义 221

习题6.1 222

6.2定积分的性质 223

习题6.2 226

6.3微积分基本定理 227

习题6.3 230

6.4定积分的计算方法 232

一、换元积分法 232

二、分部积分法 236

习题6.4 238

6.5反常积分 240

一、无穷区间上的反常积分 240

二、无界函数的反常积分 243

习题6.5 245

6.6定积分的应用 246

一、定积分的元素法 246

二、平面图形的面积 247

1.直角坐标情形 247

2.极坐标情形 251

三、体积 252

1.旋转体的体积 252

2.平行截面面积为已知的立体的体积 254

四、平面曲线的弧长 255

1.直角坐标情形 255

2.参数方程情形 256

3.极坐标情形 257

五、经济应用 257

1.已知边际求原函数 257

2.已知边际求总量 258

3.货币流的总价值和投资回收期的计算 258

4.消费者剩余和供给者剩余 259

习题6.6 260

第六章总习题 262

第七章 向量代数和空间解析几何 267

7.1向量及其线性运算 267

一、向量的概念 267

二、向量的线性运算 267

1.向量的加法 267

2.向量的减法 268

3.向量的数乘 268

4.向量的单位化 268

三、空间直角坐标系 268

1.坐标面 269

2.卦限 269

3.向量的坐标及相关运算 269

4.向量的方向角和方向余弦 270

四、向量的数量积与向量积 271

1.两个向量的数量积 271

2.两个向量的向量积 272

3.三个向量的混合积 274

习题7.1 275

7.2空间中的平面和直线 275

一、平面及其方程 276

1.平面的点法式方程 276

2.平面的一般方程 277

3.两平面的夹角 279

4.点到平面的距离 280

二、直线及其方程 280

1.直线的对称式方程和参数方程 280

2.直线的一般方程 282

3.空间两条直线的位置关系 283

4.直线与平面的夹角 283

习题7.2 284

7.3曲面及其方程 285

一、曲面方程的概念 285

二、几种常见曲面及其方程 285

1.球面 285

2.柱面 286

3.锥面 287

4.旋转曲面 288

三、二次曲面 290

1.椭球面 291

2.双曲面 292

3.抛物面 293

习题7.3 295

7.4空间曲线 296

一、空间曲线及其方程 296

1.曲线的一般方程 296

2.曲线的参数方程 296

二、空间曲线在坐标面上的投影 297

习题7.4 299

第七章总习题 299

第八章 多元函数微分学 301

8.1多元函数的概念 301

一、预备知识 301

1.邻域 301

2.区域 301

二、多元函数的概念 302

习题8.1 303

8.2多元函数的极限 303

一、多元函数的极限 303

二、多元函数的连续性 305

习题8.2 306

8.3偏导数 306

一、偏导数的定义 306

二、偏导数的几何意义及偏导数存在与连续的关系 308

三、高阶偏导数 310

习题8.3 311

8.4全微分 312

一、全微分 312

二、可微的条件 313

三、全微分在近似计算中的应用 315

习题8.4 316

8.5多元复合函数的求导法则 316

一、链式法则 316

二、全微分形式不变性 319

习题8.5 319

8.6隐函数求导法则 320

一、一个方程的情形 320

二、方程组的情形 322

习题8.6 324

8.7多元函数的极值 325

一、极值 325

二、最值 327

三、条件极值与拉格朗日乘数法 328

习题8.7 330

第八章总习题 331

第九章 二重积分 334

9.1二重积分的概念与性质 334

一、引例 334

引例1求曲顶柱体的体积 334

引例2求平面薄片的质量 335

二、二重积分的概念 336

三、二重积分的性质 337

习题9.1 339

9.2二重积分的计算 340

一、直角坐标系中二重积分的计算 340

二、极坐标系中二重积分的计算 347

习题9.2 351

第九章总习题 353

第十章 无穷级数 356

10.1常数项无穷级数的概念和性质 356

一、常数项无穷级数的概念 356

二、无穷级数的性质 359

习题10.1 364

10.2正项级数 364

一、正项级数收敛的充分必要条件 365

二、正项级数敛散性的判别方法 366

1.比较审敛法 366

2.比值审敛法 370

3.根值审敛法 373

4.（柯西）积分审敛法 375

习题10.2 376

10.3任意项级数 378

一、交错级数敛散性的判别方法 378

二、任意项级数的绝对收敛与条件收敛 380

1.绝对收敛与条件收敛的概念 380

2.任意项级数的审敛法 380

习题10.3 383

10.4幂级数 384

一、函数项级数的概念 384

二、幂级数 385

1.幂级数的概念 385

2.幂级数的敛散性 385

3.幂级数的运算 390

4.幂级数和函数的性质 391

习题10.4 396

10.5泰勒级数与函数的幂级数展开 397

一、泰勒级数 397

1.泰勒级数的定义 397

2.函数表示成泰勒级数的条件 398

二、函数展开成幂级数 398

1.幂级数展开式的唯一性 398

2.将函数展开成幂级数的方法 403

3.几个常用的麦克劳林展开式 407

4.幂级数的简单应用 408

习题10.5 410

第十章总习题 411

第十一章 常微分方程和差分方程 415

11.1微分方程的基本概念 415

一、引例 415

引例1求曲线的方程 415

引例2求做变速直线运动物体的运动方程 415

二、微分方程的概念 416

习题11.1 418

11.2可分离变量的微分方程 419

一、可分离变量的微分方程 419

二、齐次微分方程 421

习题11.2 425

11.3一阶线性微分方程 426

一、一阶线性微分方程 426

二、伯努利方程 429

习题11.3 430

11.4全微分方程 431

习题11.4 434

11.5可降阶的高阶微分方程 434

一、y（n）=f（x）型微分方程 434

二、y”=f（x，y’）型微分方程 435

三、y”=f（y，y’）型微分方程 436

习题11.5 438

11.6二阶线性微分方程 438

一、二阶线性微分方程解的结构 438

1.二阶线性微分方程的基本概念 438

2.二阶齐次线性微分方程解的结构 438

3.二阶非齐次线性微分方程解的结构 439

二、二阶常系数线性微分方程 441

1.二阶常系数齐次线性微分方程 441

2.二阶常系数非齐次线性微分方程 444

习题11.6 448

11.7差分方程及其简单应用 448

一、差分的概念 448

二、差分方程的概念 450

三、一阶常系数线性差分方程 450

1.yx＋1—ayx=0（a为非零常数） 451

2.yx＋1—ayx=f（x）（a为非零常数） 451

四、二阶常系数线性差分方程 454

1.齐次差分方程的通解 454

2.非齐次差分方程的特解和通解 455

五、差分方程的简单应用 457

1.动态供需均衡模型 457

2.凯恩斯（Keynes.J.M）国民经济收支动态均衡模型 458

3.哈罗德（Harrod.R.H）经济增长模型 459

习题11.7 459

11.8微分方程建模简介 460

模型一、价格波动模型 460

模型二、传染病模型 463

1.SI模型 463

2.SIS模型 464

模型三、减肥问题 464

模型四、单种群增长问题 466

1.马尔萨斯（Malthus）模型 466

2.逻辑斯谛（logistic）模型 467

习题11.8 468

第十一章总习题 468

习题参考答案与提示 472