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目录 1

第一篇 场的数学描写方法 1

第一章 数量场的梯度 1

§1场和场的图解 1

1.1场的概念和场的数学表示方法 1

1.2场的分类和场的图形表示法 3

§2方向导数 8

2.1方向导数的定义 8

2.2方向导数的计算公式 9

§3梯度 12

3.1梯度的定义 12

3.2梯度的性质及其另一种定义 13

3.3梯度的运算法则 14

§4梯度的几何性质 17

4.1梯度的几何性质 17

4.2梯度场的几何作法 20

第二章 矢量场的散度 23

§1散度及其计算公式 23

1.1发散量 23

1.2散度 25

1.3散度在直角坐标下的计算公式 27

1.4散度的运算法则 30

2.1Gauss定理 32

§2Gauss定理 32

2.2Gauss定理在积分计算中的应用 35

2.3Gauss定理与三重积分的分部积分 38

2.4质量守恒与连续性方程 39

第三章 矢量场的旋度 42

§1涡旋量及其计算 42

1.1旋转量（环量） 42

1.2涡旋量 46

1.3涡旋量的计算公式 47

§2旋度及其计算 51

2.1空间矢量场的旋度 51

2.2旋度在直角坐标系下的计算式 52

§3Green公式和Stokes公式 55

3.1Green公式 55

3.2Stokes公式 58

3.3Green公式和Stokes公式在积分计算中的应用 60

3.4Green公式与二重积分的分部积分 64

3.5两个基本方程的建立 65

§4位场和标量势 68

4.1空间矢量场的标量势 70

4.2平面矢量场的标量势 77

1.1？算符 80

§1？算符及其运算法则 80

第四章 ？算符和三度在球、柱坐标系下的计算式 80

1.2？算符的运算法 81

1.3？算符的线性运算性质 84

1.4？算符的复合运算法则 85

§2梯度、散度、旋度、？2算符在柱坐标系下的计算式 87

2.1？算符在柱坐标系下的表达式 87

2.2单位矢量e？、e？、e？的“微商”公式 89

2.3散度在柱坐标系下的计算式 90

2.4旋度在柱坐标系下的计算式 91

2.5？2算符在柱坐标系下的表达式 92

3.1？算符在球坐标系下的表达式 93

§3梯度、散度、旋度、？2算符在球坐标系下的计算式 93

3.2单位矢量e？、e？、e？的“微商”公式 94

3.3散度在球坐标系下的计算式 95

3.4旋度、？2算符在球坐标系下的表达式 96

第二篇 无穷级数 99

第五章 数值级数 99

§1级数的收敛、发散概念 100

1.1收敛、发散概念 100

1.2级数的基本性质 102

§2正项级数的收敛、发散判别法 106

2.1比较判别法 106

2.2D Alembert判别法、Cauchy判别法 110

2.3积分判别法 113

§3任意项级数的敛散性判别 117

3.1Cauchy收敛准则、Leibniz判别法 117

3.2绝对收敛与条件收敛 120

3.3Abel判别法和Dirichet判别法 121

3.4级数的乘法 123

第六章 函数级数 126

§1收敛域、函数级数的和函数 126

1.1收敛域的概念 126

1.3和函数与函数级数的逐点收敛 128

1.2和函数的概念 128

§2函数级数的一致收敛 129

2.1一致收敛的概念 129

2.2一致收敛的判别法 131

2.3内部一致收敛 136

§3和函数的性质 138

3.1和函数的连续性 139

3.2逐项积分性质 140

3.3逐项微商定理 141

第七章 幂级数 143

§1收敛域的结构与求法 143

1.1Abel引理及其推论 143

1.2收敛域的结构与求法 145

1.3幂级数的乘法 147

§2和函数的性质 150

2.1内部一致收敛的性质 150

2.2逐项求导幂级数的收敛半径 151

2.3和函数的性质 152

§3初等函数的幂级数展开 156

3.1必要条件 156

3.2充分条件 158

3.3初等函数在x＝0点的Taylor展式 160

1.1形式Fourier级数 166

§1形式Fourier级数 166

第八章 Fourier级数 166

1.2求形式Fourier级数的例子 168

1.3Besel不等式和Riemann引理 170

§2收敛定理 173

2.1引理和命题 173

2.2收敛定理及其推论 180

2.3Fourier级数的指数形式 188

§3一般区间上的Fourier级数展开 191

3.1收敛定理及其推论 191

3.2展开例子 194

4.1内积概念和基本不等式 196

§4广义Fourier级数 196

4.2正交归一化系 198

4.3广义Fouier级数及其收敛概念 199

4.4完全系的概念及其判别 200

第三篇 常微分方程 203

第九章 一阶微分方程的解法 203

§1常微分方程举例和基本概念 204

1.1常微分方程举例 204

1.2基本概念 204

§2可分离变量的方程 208

2.1可分离变量的方程 208

2.2齐次方程 209

2.3准齐次方程 211

§3一阶线性方程 214

3.1齐次线性方程 215

3.2非齐次线性方程 215

3.3Bernoulli方程 217

§4恰当方程和积分因子 221

4.1恰当方程的概念 221

4.2恰当方程的判别 221

4.3积分因子的概念 226

4.4积分因子的求法 227

5.1参数形式的解 233

§5一阶隐式方程 233

5.2方程y＝f（x，y′） 234

5.3方程x＝f（y，y′） 236

第十章 高阶方程和方程组的解法 239

§1特殊的非线性高阶方程的解法 239

1.1？＝f（x）型的方程 239

1.2y″＝f（x，y′）型的方程 241

1.3y″＝f（y，y′）型的方程 242

1.4解题的灵活性 243

§2二阶线性方程的解法 246

2.1通解结构定理 246

2.2置换法和视常数为变数法 247

2.3常系数齐次线性方程的通解 251

2.4待定系数法 254

2.5幂级数解法 260

§3方程组的初等积分法 264

3.1方程组的概念 264

3.2方程组中的名称 265

3.3方程组的解法 267

第十一章 高阶线性方程 274

§1解的存在与唯一性定理 274

1.1Lipschtz条件 274

1.2一阶正规形方程解的存在与唯一性定理 275

2.1函数的线性相关和线性无关 279

1.3高阶线性方程解的存在与唯一性定理 279

§2函数间的线性关系 279

2.2相关性的判别 281

§3通解结构定理 285

3.1齐次方程通解的结构定理 285

3.2非齐次方程通解的结构定理 286

3.3常系数齐次方程的基本解组 287

3.4解非齐次方程的待定系数法 290

§4奇解 293

4.1奇解的概念 293

4.2奇解的求法 295

1.1一阶偏微分方程 304

第十二章 一阶偏微分方程 304

§1名称和基本概念 304

1.2通解和特解 305

§2一阶线性齐次方程 306

2.1特征方程组 306

2.2首次积分与通解 308

2.3多个自变量的线性齐次方程 312

§3一阶拟线性方程 314

3.1拟线性方程的解法 314

3.2初值问题的解法 316

答案与提示 320