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第一篇 直观基础上的微积分 1

引言——微积分的主要内容和思想方法 1

思考题 6

第1章 函数、函数极限及连续函数 7

1．1 函数 7

习题1．1 14

1．2 函数极限 16

1．3 函数的连续性 30

1．4 自变量以及函数值趋于无穷的情形 37

习题1．2 45

补充题 48

第2章 导数 50

2．1 导数概念的引入 50

2．2 导数的概念 55

2．3 导数的计算 57

2．4 高阶导数 71

习题2 77

补充题 81

第3章 导数的应用 83

3．1 相关变化率 84

3．2 函数的动态 85

3．3 函数作图 105

3．4 导数在经济学中的一些应用 107

3．5 L Hospital(洛必达)法则 113

3．6 用多项式逼近函数—Taylor(泰勒)公式 118

3．7 微分 128

习题3 136

补充题 143

第4章 积分 145

4．1 定积分的定义 145

4．2 定积分的性质和微积分基本定理 150

4．3 不定积分 156

4．4 定积分的计算 172

习题4 179

补充题 184

第5章 积分的应用 186

5．1 广义的“曲线下的面积”和函数的平均值 187

5．2 定积分在几何中的应用 191

5．3 定积分在物理中的一些应用 200

5．4 定积分在经济问题中的应用举例 208

习题5 210

第6章 数学模型和常微分方程初步 214

6．1 常微分方程的基本概念 214

6．2 一阶常微分方程 216

6．3 可降阶的二阶常微分方程 233

6．4 Kepler定律的证明 236

习题6 240

第二篇 理性微积分 244

第1章 实数、实数序列及其极限 244

1．1 实数集 244

1．2 实数序列的极限及其基本性质 245

1．3 实数集完备性的几个等价命题 248

1．4 实数序列的极限举例 254

习题7 256

补充题 259

第2章 数值函数、极限和连续函数 260

2．1 函数的概念 260

2．2 函数极限 261

2．3 函数的连续性 269

2．4 函数列的一致收敛性和阶跃函数 272

习题8 278

补充题 280

第3章 定积分 282

3．1 阶梯函数的积分 282

3．2 Riemann积分(定积分) 285

习题9 292

第4章 广义积分 294

4．1 无穷区间上的广义积分 294

4．2 无界函数的广义积分 298

4．3 г函数(Euler积分) 301

习题10 303

补充题 305

第5章 无穷级数 306

5．1 数项级数及其判敛法则 306

5．2 函数项级数及其一致收敛性 315

5．3 幂级数和Taylor(泰勒)级数 319

习题11 329

补充题 334

第6章 Fourier(傅里叶)级数 336

6．1 三角函数系的正交性与三角级数的系数 337

6．2 函数的Fourier级数 338

6．3 其它形式的Fourier级数 342

6．4 平均收敛 348

习题12 352

(一)积分简表 354

(二)部分习题参考答案 358

(三)名词索引 365