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第一章 实数、函数与极限 1

第一节 实数略说 1

1.1.1 有理数之特性 1

1.1.2 实数之连续性 3

1.1.3 实数之表达形式 5

第二节 函数概念 6

1.2.1 函数之定义 6

1.2.2 函数之图示 8

1.2.3 逆函数 13

第三节 初等函数略论 14

1.3.1 有理函数 14

1.3.2 代数函数 15

1.3.3 三角函数 16

1.3.4 指数与对数函数 17

第四节 数序之极限 18

1.4.1 数序 18

1.4.2 极限举例 21

1.4.3 极限之定义 27

1.4.4 Cauchy审敛法 29

1.4.5 独行数序之收敛条件 30

1.4.6 极限之运算 30

1.4.7 e与π 32

第五节 连续变数之极限 35

1.5.1 再论极限之定义 35

1.5.2 举例 36

第六节 函数之连续性 38

1.6.1 连续性之定义 38

1.6.2 间断点 40

1.6.3 关於连续函数之定理 42

第一章附录 44

第一节 聚点原则及其应用 45

A1.1.1 聚点原则 45

A1.1.2 聚点与极限 46

A1.1.3 Cauchy审敛法之证明 47

A1.1.4 有涯独行数序之收敛性 47

A1.1.5 最大与最小聚点；数集之上下涯 48

第二节 关於连续函数之定理 50

A1.2.1 连续函数之最大与最小值 50

A1.2.2 均匀连续性 51

A1.2.3 介值定理 52

A1.2.4 独行连续函数之逆函数 53

A1.2.5 其他定理 54

第三节 再论初级函数 54

第二章 微积分学之基本概念与定理 58

第一节 定积分 58

2.1.1 面积问题 58

2.1.2 定积分之定义 59

2.1.3 举例 61

第二节 导数 66

2.2.1 导数与切线 66

2.2.2 导数与速度 69

2.2.3 求导数举例 70

2.2.4 函数之可导性与连续性 71

2.2.5 高重导数及其意义 73

2.2.6 导数之中值定理 74

2.2.7 何谓微分 77

第三节 不定积分之定义；微积分学之基本定理 79

2.3.1 何谓不定积分 79

2.3.2 不定积分之导数 80

2.3.3 原函数、不定积分之普遍定义 82

2.3.4 定积分之计算 85

2.3.5 举例 86

第四节 绘图求积分之法 87

第五节 再论积分与导数之关系 89

第六节 积分估值法 91

2.6.1 积分之中值定理 91

2.6.2 中值定理之应用 92

第二章附录 95

第一节 定积分之存在定理 95

第二节 积分中值定理与导数中值定理之关系 96

第三章 初等函数之微积分学 98

第一节 求导数之法 98

3.1.1 简法四则 98

3.1.2 有理函数之导数 100

3.1.3 三角函数之导数 100

第二节 不定积分之简单求法 101

3.2.1 与导数公式相对峙之积分公式 101

3.2.2 最简单函数之积分 101

第三节 逆函数及其导数 103

3.3.1 逆函数之导数 103

3.3.2 幂函数之逆函数 105

3.3.3 三角函数之逆函数 106

第四节 叠函数之导数 109

3.4.1 链导法 109

3.4.2 举例 111

3.4.3 再论xa之积分及导数 112

第五节 对数函数及其逆函数 113

3.5.1 对数函数之定义及其特性 113

3.5.2 对数函数之逆函数、指数函数 116

3.5.3 普遍指数函数az及幂函数xa 117

3.5.4 指数函数之另一形式 118

3.5.5 指数函数之应用 120

第六节 双曲函数及其逆函数 125

3.6.1 双曲函数之定义及其特性 125

3.6.2 双曲函数之逆函数 127

3.6.3 论双曲函数与三角函数之相似 128

第七节 函数之数量级 130

3.7.1 何谓数量级 130

3.7.2 指数及对数函数之数量级 131

3.7.3 函数在任何一点邻近之数量级 133

3.7.4 函数趋零之数量级 133

第三章附录 135

第一节 特殊函数举例 135

第二节 再论函数之可导性 137

第三节 求导数法杂论 138

A3.3.1 二项式定理之证明 138

A3.3.2 高重导数之公式 139

A3.3.3 再论链导法之应用 139

第四章 积分学理之研讨 141

第一节 最初浅之积分 141

第二节 变数交替法之讨论及其应用 143

4.2.1 交替公式 143

4.2.2 交替公式之另一证明 146

4.2.3 举例 148

第三节 分部积分法 151

4.3.1 分部积分之公式 151

4.3.2 举例 152

4.3.3 递演公式 153

4.3.4 关於π之Wallis公式 154

第四节 有理函数之积分 156

4.4.1 有理函数之基本式 157

4.4.2 基本式之积分 157

4.4.3 有理函数之分解 158

第五节 函数之有理化 162

4.5.1 三角及双曲函数之有理化 162

4.5.2 再论交替法 166

第六节 不能用初等函数表达之积分 167

4.6.1 以积分作函数之定义 167

4.6.2 总论求积分与求导数 169

第七节 积分概念之旁推 170

4.7.1 函数之有间断点者 170

4.7.2 积分变程为无限者 172

4.7.3 T函数 173

4.7.4 Dirichlet与Fresnel积分 174

第四章附录 177

积分之第二中值定理 177

第五章 微积分学之应用 179

第一节 莫大与莫小值问题 179

5.1.1 审莫大及莫小值之法 179

5.1.2 举例 183

第二节 论曲线之方程式 187

5.2.1 圆坐标之应用 187

5.2.2 参变数方程式 188

5.2.3 论曲线之导数 191

5.2.4 论曲线之几何性质 194

第三节 平面曲线略论 196

5.3.1 论面积之正负 196

5.3.2 面积之普遍公式 198

5.3.3 曲线之弧长 201

5.3.4 曲线之曲率 205

5.3.5 质量中心与曲线矩 207

5.3.6 转成面之面积与体积 208

5.3.7 转动惯量 209

5.3.8 举例 210

第四节 力学中最简单之问题 214

5.4.1 力学中之基本假设 214

5.4.2 举例 215

5.4.3 功量概念之应用 223

第五章附录 226

法包线之性质 226

第六章 函数之展开 230

第一节 近似表达法举例 230

第二节 Taylor定理 233

6.2.1 关於整有理函数之Taylor公式 233

6.2.2 关於任何函数之Taylor公式 234

6.2.3 余项之估计 235

第三节 初等函数之展开 237

6.3.1 指数函数之展开 237

6.3.2 sinx，cosx，sinhx，coshx之展开 238

6.3.3 二项式级数 239

第四节 Taylor定理在几何学中之应用 241

6.4.1 曲线之接触 241

6.4.2 再论曲线之曲率圆 243

6.4.3 再论莫大与莫小值问题 244

第六章附录 245

第一节 函数之不能展开者 245

第二节 e为无理数之证明 245

第三节 二项式级数收敛之证明 246

第四节 函数之零点与无限点，所谓不定式 247

第五节 插值公式及其与Taylor公式之关系 250

第七章 近似算法略论 254

第一节 积分之近似算法 254

7.1.1 矩形替代法 254

7.1.2 梯形替代法 255

7.1.3 Simpson法 255

7.1.4 举例 256

7.1.5 误差之估计 258

第二节 中值定理及Taylor定理之应用 259

7.2.1 误差问题 259

7.2.2 π之计算 262

7.2.3 对数之计算 263

第三节 求方程式之近似根 264

7.3.1 Newton法 264

7.3.2 佯设法 265

7.3.3 叠代法 266

7.3.4 举例 268

第七章附录 269

Stirling公式 269

第八章 无尽级数纲要 273

第一节 基本概念 273

8.1.1 收敛与发散 273

8.1.2 绝对收敛与相对收敛 275

8.1.3 级数项之易位 278

8.1.4 无尽级数之运算 280

第二节 绝对收敛之充分条件 281

8.2.1 比较检验法 281

8.2.2 与几何级数相比较 282

8.2.3 与定积分相比较 284

第三节 函数组成之级数 286

8.3.1 论函数序与曲线族之极限 286

8.3.2 匀敛性 288

8.3.3 匀敛之条件 292

8.3.4 匀敛级数之特性 293

8.3.5 无尽级数之导数问题 295

第四节 幂级数 297

8.4.1 幂级数之收敛性 298

8.4.2 幂级数之积分与导数 299

8.4.3 幂级数之运算 300

8.4.4 用幂级数表达之唯一性 301

第五节 再论函数之展开 302

第六节 复变数函数理论一瞥 306

8.6.1 复数略说 306

8.6.2 幂级数之由复数组成者 308

8.6.3 关於复幂级数之一定理 309

第八章附录 311

第一节 级数之相乘相除 311

A8.1.1 绝对收敛级数之相乘 311

A8.1.2 幂级数之相乘相除 312

第二节 关於指数函数之极限 313

A8.2.1 （1＋？）n→eχ之匀敛性 313

A8.2.2 ？＝？之证明 314

第三节 无尽级数与旁义积分 315

第四节 无尽乘积 316

第五节 无尽级数举例 318

A8.5.1 函数展开举例 318

A8.5.2 级数中有Bernoulli数出现者 320

第九章 Fourier级数浅论 323

第一节 论周期函数 323

9.1.1 周期函数之特性 323

9.1.2 谐皆振动之重叠 326

第二节 利用复数以表达振动之重叠 329

9.2.1 复数之应用 329

9.2.2 用复数以表达振动之重叠 331

9.2.3 一连加公式之推演 332

第三节 函数展开为Fourier级数之问题 333

9.3.1 Fourier系数 333

9.3.2 Fourier级数举例 334

第四节 Fourier级数之收敛性 340

9.4.1 所表函数按段光滑者 340

9.4.2 Fourier级数收敛性之研讨 344

第九章附录 347

Fourier级数之积分 347

第十章 关於波动现象之微分方程式 349

第一节 物理学中之振动现象 349

10.1.1 力学中最简单之振动 349

10.1.2 电振动 350

第二节 论自由振动 351

10.2.1 齐性微分方程式之解 351

10.2.2 开始条件之适应 353

第三节 论强迫振动 354

10.3.1 齐性与不齐性微分方程式之关系 354

10.3.2 不齐性微分方程式之解 355

10.3.3 表达共振现象之曲线 356

10.3.4 强迫振动之特性 358

10.3.5 记录仪器之裂造问题略论 360

定理及公式撮要 362

杂题 379

答案及提示 400

第一章 立体解析几何学及矢量解析中之重要概念 437

第一节 垂直坐标及矢量 437

1.1.1 垂直坐标系 437

1.1.2 矢量 438

1.1.3 矢量之标积 441

1.1.4 直线与平面之方程式 442

第二节 矢量之矢积 447

1.2.1 三角形之面积 447

1.2.2 两矢量之矢积 448

1.2.3 四面体之体积 450

第三节 行列式之简单定理及应用 452

1.3.1 行列式之简单性质 452

1.3.2 行列式之应用于联立一次方程式 454

第四节 论仿射转换及行列式之乘法 457

1.4.1 空间或平面之仿射转换 457

1.4.2 仿射转换之叠合与分解 460

1.4.3 行列式之乘法 462

第二章 两个以上自变数之函数及其导数 467

第一节 函数之概念 467

2.1.1 函数及其自变数之变区 467

2.1.2 最简单函数举例 469

2.1.3 函数之标绘 470

第二节 函数之连续性 472

2.2.1 连续性之定义 472

2.2.2 极限 473

2.2.3 函数趋零之数量级 475

第三节 偏导数 477

2.3.1 偏导数之定义 477

2.3.2 函数之连续性与偏导数之存在 480

2.3.3 求偏导数之程序 481

第四节 全微分及其几何意义 484

2.4.1 论可导性 484

2.4.2 沿某方向求导数 486

2.4.3 求导数在几何学上之意义 487

2.4.4 函数之全微分 489

2.4.5 应用於误差之估值 491

第五节 叠函数及新自变数之输入 491

2.5.1 链导法 491

2.5.2 举例 494

2.5.3 自变数之更换 495

第六节 中值定理与Taylor定理 497

2.6.1 中值定理 497

2.6.2 Taylor定理 498

第七节 矢量方法之应用 500

2.7.1 矢量场与矢量族 500

2.7.2 矢量在曲线理论中之应用 502

2.7.3 标量之？度 504

2.7.4 矢量场之散度与旋量 507

第二章附录 509

第一节 聚点原则及其应用 509

A2 1.1 聚点原则 510

A2.1.2 点集理论中几种重要概念 510

A2.1.3 Heinc-Borel之掩蔽定理 513

第二节 再论极限概念 514

A2.2.1 重数序及其极限 514

A2.2.2 连续变数之极限 517

A2.2.3 独行函数序之歛性 518

第三节 齐性函数 519

第三章 微分学之发展及其应用 522

第一节 隐函数之理论 522

3.1.1 引论 522

3.1.2 问题在几何意义上之阐明 522

3.1.3 隐函数定理 524

3.1.4 隐函数定理推广於两个以上之自变数 527

3.1.5 隐函数定理之证明 528

第二节 曲线及曲面之出现於隐函数形式者 531

3.2.1 平面中曲线之出现於隐函数形式者 531

3.2.2 曲线之奇点 534

3.2.3 曲面之出现於隐函数形式者 536

第三节 函数组转换式及摄影 539

3.3.1 总论 539

3.3.2 曲线坐标之应用 543

3.3.3 推广於两个以上之自变数 544

3.3.4 逆函数之导数 547

3.3.5 摄影或辅换之分解与叠合 549

3.3.6 关於逆转换之普遍定理 553

3.3.7 论函数之相倚 554

3.3.8 理论之推广 556

第四节 理论之应用 559

3.4.1 曲面理论中之应用 559

3.4.2 转换之保角性 564

第五节 曲线族、曲面族及其包线或包面 566

3.5.1 曲线族及曲面族 566

3.5.2 单参变曲线族之包线 568

3.5.3 包线举例 570

3.5.4 曲面族之包面 575

第六节 莫大与莫小值问题 578

3.6.1 莫大及莫小值之必要条件 578

3.6.2 举例 581

3.6.3 附有条件之莫大与莫小值问题 582

3.6.4 Lagrange方法之证明 585

3.6.5 Lagrange方法之扩张 587

3.6.6 举例 591

第三章附录 595

第一节 莫大及莫小值之充分条件 595

第二节 平面曲线之奇点 599

第三节 曲面之奇点 601

第四节 描写流体运动之两种方法 602

第五节 回合曲线之切线表达法 603

第四章 重积分 605

第一节 含辅变数之定积分 605

4.1.1 举例 605

4.1.2 在积分符号下求导数 606

第二节 连续函数之重积分 611

4.2.1 两重积分之几何意义 611

4.2.2 重积分之解析定义 612

4.2.3 举例 615

4.2.4 积分之估值与中值定理 616

4.2.5 三个以上自变数之积分 619

4.2.6 积分与微分之关系，总量与比量 620

第三节 重积分迈步归於简积分 621

4.3.1 积分之变区为一长方形者 621

4.3.2 积分次序之互易；在积分符号下求导数 624

4.3.3 所得结果扩充於较普遍之变区 626

4.3.4 所得结果更扩充於多维变区 630

第四节 重积分之转换 631

4.4.1 应用极坐标 632

4.4.2 两重积分之转换式 633

4.4.3 多维空间中之转换式 637

第五节 积分概念之旁推 639

4.5.1 函数作有尽次跳跃者 639

4.5.2 函数在间断点无极限可趋者 640

4.5.3 函数之间断点沿线皆是者 643

4.5.4 积分变区展至无穷远者 643

4.5.5 旁义积分总论 645

第六节 几何学中之应用 646

4.6.1 体积之计算 646

4.6.2 体积问题之普遍讨论 648

4.6.3 曲面之面积 649

第七节 物理学中之应用 656

4.7.1 矩与质量中心 656

4.7.2 转动惯量 658

4.7.3 复摆 660

4.7.4 吸引质量之势函数 662

第四章附录 665

第一节 重积分之存在定理 665

A4.1.1 变区之内涵及多维变区 665

A4.1.2 关於光滑线段之一定理 668

A4.1.3 重积分之存在证明 670

第二节 多维空间中之体积与面积 671

A4.2.1 重积分之分解 671

A4.2.2 多维空间中曲面之面积 673

A4.2.3 n维空间中球面之面积与体积 674

A4.2.4 所得结果之推广 675

第三节 旁义积分之含辅变数者 678

A4.3.1 匀歛之旁义积分 678

A4.3.2 旁义积分对所含辅变数求积与求导 680

A4.3.3 举例 683

A4.3.4 Fresnel之积分 686

第四节 论Fourier积分 688

A4.4.1 以旁义积分表达函数 688

A4.4.2 Fourier积分定理之证明 690

第五节 论Г函数 692

A4.5.1 Г函数定义及其方程式 692

A4.5.2 凸函数之特性及Bohr定理之证明 694

A4.5.3 Г函数之无尽乘积 698

A4.5.4 论logГ（x）及其导数 701

A4.5.5 Г（x）之延拓 702

A4.5.6 论Beta函数 703

第六节 Abel之积分方程式 706

第七节 论曲面之面积定义 708

第五章 线积分与面积分 710

第一节 线积分 710

5.1.1 定义 710

5.1.2 由力学观点论线积分 714

5.1.3 全微分之求积 715

5.1.4 线积分之基本定理 716

5.1.5 单连区域之重要性 722

第二节 平面中线积分与重积分之关系Gauss定理 723

5.2.1 Gauss定理之证明 723

5.2.2 Gauss定理之矢量形式，Stokes定理 726

5.2.3 Green 公式，再论Jacobian之意义 728

第三节 Gauss定理之阐明及其应用 730

5.3.1 由物理学观点论Gauss定理 730

5.3.2 由物理学观点论Stokes定理 732

5.3.3 重积分之转换式 734

第四节 面积分 735

5.4.1 变区之向旨 735

5.4.2 就一曲面施展之积分 740

5.4.3 面积分由物理学观点说明之 743

第五节 空间中之积分定理及等式 743

5.5.1 Gauss定理及其在物理学上之解释 743

5.5.2 Green等式 748

5.5.3 空间力与曲面力 748

第六节 空间中之Stokes定理 750

5.6.1 Stokes定理之证明 750

5.6.2 再由物理学观点论Stokes定理 753

第七节 就两个以上自变数再论积分与微分之关系 754

第五章附录 758

第一节 再论Gauss及Stokes定理 758

第二节 无源矢量场由旋最表达之 760

第六章 微分方程式略论 763

第一节 力学中之微分方程式 763

6.1.1 质点之运动方程式 763

6.1.2 能量不减原则 765

6.1.3 论平衡状态 766

6.1.4 平衡点旁之轻微振动 768

6.1.5 行星绕日运动问题 770

第二节 线性微分方程式引论 775

6.2.1 最简单之线性微分方程式；常数变易法 775

6.2.2 变数分途法 777

6.2.3 边值问题举例 779

第三节 线性微分方程式理论述要 782

6.3.1 叠合原则 782

6.3.2 二重微分方程式 786

6.3.3 不齐微分方程式；常数变易法 788

6.3.4 再论强迫振动 791

第四节 就最简单情形讨论微分方程式之基本问题 793

6.4.1 初重微分方程式及其几何意义 793

6.4.2 曲线族之微分方程式 795

6.4.3 求全因子 797

6.4.4 解之存在与唯一 799

6.4.5 联立微分方程式之高重微分方程式 803

6.4.6 用系数待定法求解微分方程式 803

第五节 吸力场之势函数 808

6.5.1 质量分布之势函数 808

6.5.2 势函数之微分方程式 810

6.5.3 双层均匀分布 811

6.5.4 势函数之中值定理 813

6.5.5 以圆为变区讨论Laplace方程式之边值问题；Poisson之积分 815

第六节 波动之微分方程式 817

6.6.1 单维波之传播 817

6.6.2 空间波之传播 819

6.6.3 Maxwell电学方程式 820

第七章 复函数之微积分学 825

第一节 复函数之可导性 825

7.1.1 Cauchy-Riemann之微分方程式 825

7.1.2 保角摄影；解析函数之逆函数 828

第二节 解析函数之积分 830

7.2.1 积分定义 830

7.2.2 Cauchy之基本定理 831

7.2.3 对数函数及指数函数 833

第三节 解析函数展开为幂级数 836

7.3.1 Cauchy公式 836

7.3.2 解析函数之展开 838

7.3.3 Cauchy定理之逆定理 840

7.3.4 解析函数与势函数 841

第四节 解析函数之异点 842

7.4.1 零点与孤异点 842

7.4.2 复径求积法 845

7.4.3 剩余定理与线性微分方程式 850

第五节 回顾与前瞻 852

定理及公式撮要 855

杂题 871

答案及提示 883