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目录 1

第一章 函数与Mathematic入门 1

1.1 集合 1

1.1.1 集合的概念 1

1.1.2 集合的运算 2

1.1.3 实数与数轴 4

1.1.4 区间、邻域 5

1.2 函数 7

1.2.1 函数的概念 7

1.2.2 函数的几何特性 10

1.2.3 复合函数的反函数 12

1.2.4 基本初等函数 13

1.3.4 平均成本函数 17

1.3.3 利润函数 17

1.3.2 收益函数 17

1.3.1 总成本函数 17

1.3 经济中常用的函数 17

1.3.5 价格函数 18

1.3.6 需求函数 18

1.3.7 供给函数 19

1.3.8 戈珀兹（Gompertz）曲线 20

1.4 Mathematic入门 20

1.4.1 软件操作简介 20

1.4.2 Mathematica基本运算操作 21

1.4.3 函数作图 21

1.4.4 微积分中常用运算 23

本章重要概念英文词汇 25

数学家简介（牛顿，Isaac Newton） 25

习题一 26

2.1.1 数列的极限 29

第二章 极限与连续 29

2.1 极限 29

2.1.2 函数的极限 31

2.1.3 极限的运算法则 36

2.1.4 两个重要极限 40

2.2 函数的连续性 44

2.2.1 函数连续的定义 44

2.2.2 函数的间断点 46

2.2.3 连续函数的有关定理 48

2.2.4 闭区间上连续函数的性质 50

2.3 无穷小比较 51

2.3.1 无穷小量和无穷大量 51

2.3.2 无穷小量和无穷大量的阶 52

数学家简介（柯西，Augustin-Louis Cauchy） 56

本章重要概念英文词汇 56

习题二 57

第三章 导数与微分 62

3.1 导数概念 62

3.1.1 导数概念的引入 62

3.1.2 导数的定义 64

3.1.3 单侧导数 66

3.1.4 可导与连续的关系 66

3.1.5 用导数定义求导数 68

3.1.6 导数的实际意义 69

3.2 求导法则和基本初等函数导数公式 70

3.2.1 导数的四则运算 70

3.2.2 反函数求导法则 72

3.2.3 复合函数求导法则 73

3.2.4 取对数法求导 76

3.2.5 基本初等函数导数公式 77

3.2.6 隐函数求导法则 78

3.2.7 参数方程求导 79

3.2.8 高阶导数 80

3.3 微分 82

3.3.1 微分的定义 82

3.3.2 微分的几何意义 84

3.3.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 84

3.3.4 微分形式不变性 85

3.3.5 微分在近似计算中的应用 86

本章重要概念英文词汇 88

数学家简介（莱布尼茨，Gottfried Wilhelm Leibniz） 89

习题三 89

4.1 中值定理 96

4.1.1 罗尔（Rolle）定理 96

第四章 中值定理与导数应用 96

4.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理 98

4.1.3 柯西（Cauchy）中值定理 99

4.1.4 中值定理的初步应用 101

4.2 导数的应用 102

4.2.1 洛必达（L'Hospital）法则 102

4.2.2 函数单调性判别法 107

4.2.3 函数的极值及其求法 109

4.3 泰勒公式 114

4.4 函数的最大值和最小值 117

4.5 函数的凹凸性与拐点 119

4.6 函数图形的描绘 121

4.6.1 曲线的渐近线 121

4.6.2 函数图形的作法 123

4.7.2 曲率及其计算公式 125

4.7.1 弧微分 125

4.7 曲率 125

本章重要概念英文词汇 128

数学家简介（泰勒，Brook Taylor） 128

习题四 129

第五章 导数在经济中应用 133

5.1 导数在经济分析中的应用 133

5.1.1 边际概念 133

5.1.2 边际成本 133

5.1.3 边际收益 135

5.1.4 函数的弹性 135

5.1.5 常用函数的弹性公式 136

5.1.6 弹性的四则运算 136

5.1.7 函数弹性的图解法 137

5.1.8 弹性应用举例 138

5.2.1 需求分析 140

5.2 函数极值在经济管理中的应用举例 140

5.2.2 最大利润问题 142

5.2.3 库存管理问题 144

5.2.4 成本最低的生产量问题 145

5.2.5 复利问题 146

本章重要概念英文词汇 149

数学家简介（拉格朗日，Joeseph Louis Lagrange） 149

习题五 150

第六章 不定积分 153

6.1 不定积分的概念和性质 153

6.1.1 原函数与不定积分的概念 153

6.1.2 不定积分的几何意义 154

6.1.3 基本积分表 155

6.1.4 不定积分的性质 156

6.2.1 第一类换元积分法 159

6.2 换元积分法 159

6.2.2 第二类换元积分法 164

6.3 分部积分法 168

6.4 几种特殊类型函数的积分、实例 172

6.4.1 有理函数的积分 172

6.4.2 三角函数有理式的积分 173

6.4.3 简单无理函数的积分 174

本章重要概念英文词汇 176

数学家简介（洛必达，Guillaume Francois L'Hospital） 176

习题六 177

第七章 定积分 182

7.1 定积分的概念 182

7.1.1 定积分的举例 182

7.1.2 定积分的定义 184

7.2 定积分的性质 186

7.3 微积分基本公式 188

7.3.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 188

7.3.2 积分上限的函数及其导数 188

7.3.3 微积分基本公式 189

7.4 定积分的换元积分法 191

7.5 定积分的分部积分法 193

7.6 定积分的近似计算 195

7.6.1 矩形法 195

7.6.2 梯形法 195

7.6.3 抛物线法 196

7.7 广义积分与Г函数 197

7.7.1 无限区间上的广义积分 197

7.7.2 无界函数的广义积分 199

7.7.3 Г-函数 200

数学家简介（高斯，Carl Friedrich Gauss） 202

本章重要概念英文词汇 202

习题七 203

第八章 定积分的应用 208

8.1 平面图形的面积 208

8.1.1 微元法 208

8.1.2 平面图形面积 209

8.2 体积 211

8.2.1 曲边梯形D=｛(x,y)la≤x≤b,0≤y≤f(x)｝绕x轴旋转所得立体的体积 212

8.2.2 垂直于y轴的曲边梯形D=｛(x,y)lc≤y≤d,0≤x≤g(y)｝绕y轴旋转所得立体的体积 212

8.2.3 平行截面面积已知的立体的体积 213

8.3 平面曲线的弧长 213

8.4 定积分在经济问题中的应用举例 215

8.4.1 由边际函数求总量函数 215

8.4.2 收益流的现值和将来值 216

数学家简介（笛卡尔，Rene du PerronDescartes） 218

本章重要概念英文词汇 218

习题八 219

第九章 微分方程 221

9.1 微分方程基本概念 221

9.2 一阶微分方程 222

9.2.1 可分离变量的一阶微分方程 222

9.2.2 一阶线性微分方程 224

9.3 可降阶的高阶微分方程 228

9.3.1 y(n)=（f）型的微分方程 228

9.3.2 y″=f（x,y′）型的微分方程 229

9.3.3 y″＝f（y,y′）型的微分方程 229

9.4 二阶常系数线性微分方程 230

9.4.1 线性齐次方程 230

9.4.2 线性非齐次方程 234

9.5.2 一阶常系数线性差分方程 237

9.5.1 差分方程的一般概念 237

9.5 差分方程简介 237

9.5.3 二阶常系数线性差分方程 241

9.6 微分方程在经济分析中的应用举例 244

本章重要概念英文词汇 247

数学家简介（欧拉，Lonhard Euler） 247

习题九 248

第十章 无穷级数 252

10.1 常数项级数 252

10.1.1 级数收敛性 252

10.1.2 无穷级数的基本性质 254

10.2 数项级数的收敛性判别法 254

10.2.1 正项级数及其收敛性判别法 254

10.2.2 交错级数及其判别法 258

10.3 幂级数 260

10.2.3 绝对收敛和条件收敛 260

10.3.1 幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 261

10.3.2 幂级数的性质 263

10.4 函数展开成幂级数 266

10.4.1 泰勒级数 266

10.4.2 函数展开成幂级数 267

10.5 函数的幂级数展开式的应用 272

10.5.1 近似计算 272

10.5.2 欧拉公式 274

本章重要概念英文词汇 277

数学家简介（阿贝尔，Niels HanrikAbel） 277

习题十 277

11.1.1 空间直角坐标系 281

11.1.2 空间任意两点间的距离 281

11.1 空间解析几何 281

第十一章 多元函数微积分 281

11.1.3 曲面与方程 282

11.2 多元函数 284

11.2.1 多元函数 284

11.2.2 多元函数极限 285

11.2.3 多元函数的连续性 287

11.3 偏导数 287

11.3.1 偏导数的概念 287

11.3.2 高阶偏导数 289

11.4 全微分 289

11.4.1 全微分的概念 289

11.5 多元复合函数的求导法则 291

11.5.1 多元函数与一元函数的复合 291

11.5.2 多元函数与多元函数的复合 293

11.5.3 隐函数求导公式 294

11.6 多元函数的极值与最值 295

11.6.1 二元函数的极值 296

11.6.2 二元函数的最值 297

11.6.3 条件极值、拉格朗日乘数法 298

11.7 最小二乘法 300

11.8 二重积分 301

11.8.1 二重积分的概念 302

11.8.2 二重积分的性质 304

11.8.3 二重积分的直角坐标计算法 305

11.8.4 二重积分的极坐标计算法 308

本章重要概念英文词汇 313

数学家简介（吴文俊，Wu Wen Jun） 313

习题十一 314

附录 微积分学简史 322

参考答案 328